Seminar Algebra WS 2010/11 Prof. Dr. Burkhard Külshammer Das

Seminar Algebra WS 2010/11 Prof. Dr. Burkhard K¨ ulshammer Das Seminar wendet sich in erster Linie an die TeilnehmerInnen meiner Vorlesungen Algebra I-II aus den letzten beiden Semestern, steht aber dar¨ uber hinaus auch anderen interessierten Studierenden aus den Diplom- und Master-Studieng¨angen Mathematik sowie dem Lehramtsstudiengang Mathematik an Gymnasien offen. Behandelt werden sollen einige - wie ich denke - interessante Themen aus der Algebra, die in den Vorlesungen nicht behandelt werden konnten und die zur mathematischen Allgemeinbildung geh¨oren. Jeder Teilnehmer (bzw. jede Teilnehmerin) sollte sich fr¨ uhzeitig f¨ ur ein Thema entscheiden, sich dieses erarbeiten und mit mir besprechen, es in einem Vortrag vorstellen und schriftlich ausarbeiten. Außerdem wird von jedem Teilnehmer und jeder Teilnehmerin erwartet, dass er bzw. sie regelm¨aßig an dem Seminar teilnimmt, wobei die Teilnahme nicht nur darin besteht, den anderen Vortr¨agen passiv zu folgen, sondern auch Fragen zu stellen, nach Beispielen zu fragen und evtl. auch Argumente in Frage zu stellen. Die Anmeldung zum Seminar erfolgt durch Eintrag in eine Teilnehmerliste, die im B¨ uro von Frau Spilling ausliegt. Vortr¨ age 1 - 3: Geordnete und formal reelle K¨ orper Ein K¨ orper K, der eine Ordnung < tr¨ agt, die in der u ¨blichen Weise mit Addition und Multiplikation vertr¨aglich ist, heißt geordnet. Solche K¨ orper sind, wie man leicht sieht, formal reell, d.h. -1 l¨asst sich in ihnen nicht als Summe von Quadraten schreiben. Man kann umgekehrt zeigen, dass jeder formal reelle K¨ orper geordnet werden kann. Ferner besitzt jeder formal reelle K¨ orper K einen reellen Abschluss R, der a¨hnliche Eigenschaften wie der K¨ orper der reellen Zahlen hat. So hat z.B. R einen algebraischen Abschluss C mit [C : R] = 2. Umgekehrt kann man zeigen, dass jeder Teilk¨ orper F eines algebraisch abgeschlossenen K¨ orpers L mit [L : F ] < ∞ formal reell mit [L : F ] = 2 ist. Dies gilt also auch f¨ ur Teilk¨ orper des K¨ orpers der komplexen Zahlen. Die Theorie wurde von Artin und Schreier entwickelt, um das 17. Hilbertsche Problem zu l¨osen. Diese L¨ osung soll auch in diesen 3 Vortr¨agen behandelt werden. (Literatur: z. B. Falko Lorenz, Einf¨ uhrung in die Algebra II, pp. 1-24) Vortr¨ age 4 - 5: Dedekind-Ringe Ein Integrit¨ atsbereich R, der noethersch und ganz abgeschlossen ist und in dem jedes Primideal P 6= 0 maximal ist, heißt Dedekind-Ring. Diese Ringe sind f¨ ur die Algebraische Zahlentheorie von besonderer Bedeutung. In den beiden Vortr¨agen soll gezeigt werden, dass sich jedes Ideal I 6= 0 in einem Dedekind-Ring R im wesentlichen eindeutig als Produkt von Primidealen schreiben l¨asst. Außerdem soll gezeigt werden, dass sich DedekindRinge vern¨ unftig bei Erweiterungen ihres Quotientenk¨orpers verhalten. (Literatur: z. B. Anthony Knapp, Basic Algebra, §VIII.11)

Vortrag 6: Normalbasen In diesem Vortrag soll die Existenz einer Normalbasis f¨ ur eine (endliche) Galoiserweiterung L|K von K¨ orpern bewiesen werden. Eine solche besteht aus den Elementen σ(a), wobei a ein festes Element in L ist und σ die Elemente der Galoisgruppe von L|K durchl¨ auft. (Literatur: z. B. Falko Lorenz, Einf¨ uhrung in die Algebra I) Vortrag 7: Die Transzendenz von π Es soll bewiesen werden, dass die Kreiszahl π transzendent ist. Dies wird u.a. verwendet, um zu zeigen, dass die Quadratur des Kreises unm¨ oglich ist. (Literatur: z. B. Falko Lorenz, Einf¨ uhrung in die Algebra II) Vortrag 8: Bewertungen von K¨ orpern Bei Bewertungen handelt es sich um Funktionen, die ¨ ahnliche Eigenschaften wie der Absolutbetrag bei den reellen Zahlen haben. Diese spielen u.a. in der Algebraischen Zahlentheorie eine große Rolle. Ziel des Vortrags ist u.a. der Satz von Ostrowski, der eine Charakterisierung der reellen und komplexen Zahlen gibt. (Literatur: z. B. Falko Lorenz, Einf¨ uhrung in die Algebra II)