¿Que es mathematica?

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CAPITULO 1 .................................................................................................................................................... 4 ASPECTOS GENERALES DE MATHEMATICA ....................................................................................... 4  ¿QUE ES MATHEMATICA? ........................................................................................................................ 4  MATHEMATICA SE PUEDE USAR COMO: .............................................................................................. 5  DIÁLOGO CON MATHEMATICA. ................................................................................................................ 7  COMO INICIAR UNA SESIÓN CON MATHEMATICA. .................................................................................... 7  COMANDOS ELEMENTALES EN MATHEMATICA. ....................................................................................... 8  COMANDOS DE ALGUNAS FUNCIONES MATEMÁTICAS MÁS COMUNES. .................................................... 8  NÚMEROS COMPLEJOS. ............................................................................................................................ 9  CONSTANTES. .......................................................................................................................................... 9  USO DE PARÉNTESIS Y LLAVES. ............................................................................................................... 9  EJECUCIÓN DE OPERACIONES. ............................................................................................................... 10  MANEJO DE RESULTADOS. ..................................................................................................................... 12  DESPLIEGUE DE RESULTADOS CON PRECISIÓN ARBITRARIA. .................................................................. 13  EXACTITUD DE RESULTADOS. ................................................................................................................ 14  INTERRUPCIONES. .................................................................................................................................. 16 CAPITULO II ................................................................................................................................................. 18 ALGEBRA ...................................................................................................................................................... 18             

INTRODUCCIÓN. .................................................................................................................................... 18 OPERACIONES FUNDAMENTALES. .......................................................................................................... 18 FÓRMULAS. ........................................................................................................................................... 18 REPRESENTACIÓN DE FÓRMULAS. ......................................................................................................... 21 ASIGNACIÓN DE VALORES NUMÉRICOS A UNA VARIABLE. .................................................................... 21 EVALUACIÓN DE UNA EXPRESIÓN CON RESPECTO A UN VALOR NUMÉRICO............................................ 22 HACIENDO REEMPLAZOS. ...................................................................................................................... 22 TRANSFORMACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. ............................................................................. 23 ( LO QUE ES LO MISMO FACTORIZACIÓN Y RACIONALIZACIÓN DE DICHAS EXPRESIONES). ..................... 23 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. ................................................................................. 25 OTROS COMANDOS BÁSICOS PARA MANEJO DEL ÁLGEBRA. .................................................................. 28 MANEJO DE COMANDOS AVANZADOS. ................................................................................................... 31 CONTROLANDO EL DESPLIEGUE DE EXPRESIONES LARGAS. ................................................................... 33

CAPITULO III ............................................................................................................................................... 35 ALGEBRA LINEAL. ..................................................................................................................................... 35     

MATRICES Y VECTORES ........................................................................................................................ 35 CONSTRUCCIÓN DE MATRICES. COMANDOS PRINCIPALES. .................................................................... 35 COMO HACER TABLAS DE DATOS MEDIANTE LOS COMANDOS: TABLE, PRODUCT, SUM. ........................ 37 TABLAS DE MATRICES. .......................................................................................................................... 39 ALGUNOS TIPOS DE MATRICES ESPECIALES LAS PODEMOS CONSTRUIR AGREGANDO ALGUNA OPCIÓN ESPECIAL AL COMANDO TABLE. .................................................................................................................... 40  MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR. ............................................................................ 40  SUMA DE MATRICES. ............................................................................................................................. 41  MULTIPLICACIÓN DE MATRICES DE DIFERENTE TAMAÑO. ..................................................................... 42  MULTIPLICACIÓN DE MATRICES QUE NO CUMPLEN CON LAS REGLAS DEL ÁLGEBRA MATRICIAL MATHEMATICA MANDA UN MENSAJE DE ERROR. ..................................................................................... 43  COMANDOS IMPORTANTES DE OPERACIONES CON MATRICES ................................................................ 43  INVERSE[M]. OBTENEMOS LA MATRIZ INVERSA DE M. ........................................................................... 43  DET[M]. CALCULA EL DETERMINANTE DE LA MATRIX M. ...................................................................... 43  TRANSPOSE[M]. OBTENEMOS LA MATRIZ TRANSPUESTA. ...................................................................... 43

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   

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ. .......................................................................................................... 46 MATRIZ TRANSPUESTA. ......................................................................................................................... 47 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ......................................................................... 48 SOLVE[{EC1, EC2,..ECN}, {X, Y,..VN}]. RESUELVE LA ECUACIÓN, MOSTRANDO LA SOLUCIÓN PARA LAS DIFERENTES INCÓGNITAS. .............................................................................................................................. 48  EL SISTEMA TIENE SOLUCIÓN ÚNICA. .................................................................................................... 48  EL SISTEMA TIENE INFINIDAD DE SOLUCIONES...................................................................................... 48  EL SISTEMA NO TIENE SOLUCIÓN. .......................................................................................................... 50 CAPITULO IV ............................................................................................................................................... 52 CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL. .................................................................................................. 52             

COMANDOS PRINCIPALES DE DERIVADAS Y LIMITES. .......................................................................... 53 EVALUACIÓN DE UNA DERIVADA........................................................................................................... 55 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR. ......................................................................................................... 55 DERIVACIÓN IMPLÍCITA. ........................................................................................................................ 57 INTEGRALES INDEFINIDAS. .................................................................................................................... 58 COMANDOS PRINCIPALES DE INTEGRACIÓN. .......................................................................................... 58 INTEGRALES QUE MATHEMATICA PUEDE Y NO PUEDE RESOLVER. ......................................................... 61 INTEGRALES DEFINIDAS.(O INTEGRAL DE RIEMANN) ............................................................................. 62 CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS. .................................................................................................. 63 INTEGRALES DEFINIDAS AUXILIÁNDONOS CON GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES. ..................................... 65 INTEGRALES QUE SE RESUELVEN POR SUSTITUCIÓN. ............................................................................. 68 INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS. .......................................................................................................... 69 INTEGRALES SUSTITUCIONES PARA RACIONALIZACIÓN. ........................................................................ 70

CAPITULO V ................................................................................................................................................. 72 GRÁFICOS EN DOS DIMENSIONES. ....................................................................................................... 72  COMANDOS BÁSICOS. ............................................................................................................................ 72  RECUPERAR UN GRÁFICO Y REDEFINIRLO CON NUEVAS OPCIONES MEDIANTE EL COMANDO “ SHOW ” . 77 SHOW[GRAPHICSARRAY ] AGRUPA EN FORMAS DIFERENTES A LOS GRÁFICOS. ............................................. 80  GRÁFICO DE UNA LISTA DATOS. ............................................................................................................ 82 GRÁFICOS EN TRES DIMENSIONES. ..................................................................................................... 84 GRÁFICOS PARAMETRICOS. .................................................................................................................. 88 

COMANDO ESPECIAL DE SONIDO. ............................................................................................... 93

CAPITULO VI. .............................................................................................................................................. 95 PAQUETES ESPECIALES DE MATHEMATICA. ................................................................................... 95 3, y -> 1 – a}

para asignar los valores separando por una coma cada asignación y cerrando la llave.

Out[3]:= (3 – (1 – a))² (4 – a)

Ejecuta los reemplazos asignados y los muestra.

Podemos mezclar la asignación de un símbolo y reemplazarlo por uno o más valores diferentes. In[4]:= t = 1 +x^2 Out[4]:= 1 + x²

In[5]:= t /. x-> 2 Out[5]:= 5

Hace a t = 1 + x²

Dame el valor de t asignándole a x el valor de 2 Obtenemos el valor numérico al ser sustituida la asignación.

In[6]:= t /. x-> 5ª

Para t Cambiamos la asignación x = 5ª.

Out[6]:= 1 + 25 a²

Indica la asignación para t .

In[7]:= t /. x -> Pi //N

Reemplazamos x por π y encontramos el valor de numérico de t.

Out[7]:= 10.8696

Obtenemos el valor numérico de t.



Transformación de expresiones algebraicas.



( Lo que es lo mismo factorización y racionalización de dichas expresiones).

Frecuentemente tenemos diferentes formas de escribir una misma expresión algebraica. Por ejemplo (1 + x)² puede escribirse 1 + 2x + x². MATHEMATICA

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provee varias funciones para convertir en diferentes formas las expresiones algebraicas.

Expand[expresión] Factor[expresión]

Realiza todas las operaciones de productos y potencias que tiene la expresión algebraica. Factoriza la expresión algebraica.2

Ejemplos de estos comandos: In[1]:=Expand[ (1 + x)^2 ]

Expande ( 1 + x ) ²

Out[1]:= 1 + 2x + x²

Desarrolla el cuadrado de la expresión.

In[2]:= Factor[ % ]

Factoriza la última expresión.

Out[2]:= (1 + x)²

Recupera la forma original de la expresión.

Expand nos facilita visualizar expresiones complicadas.

In[3]:= Expand[ (1 + x + 3y)^4 ]

Expande (1 + x + 3y)⁴

Out[3]:= 1 + 4 x² + 6 x³ + 4 x⁴ + x + 12 y + 36 x y + 36 x² y + 12 x³ + 54 y² + 108 x y² + 54 x² y² + 108 y³ + 108 x y³ + 81 y⁴ En la salida muestra la expresión desarrollada a la cuarta potencia.

In[4]:= Factor[ % ]

Factorizamos la última expresión .

Out[4]:= (1 + x + 3 y)⁴

Recuperamos la forma original de la expresión.

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In[5]:= Factor [x^10 - 1]

25

Factoriza la expresión.

Out[5]:= (-1 + x) (1 + x) (1 - x + x² - x³ + x⁴ ) (1 + x + x² + x³ + x⁴ ) Expresa como productos la expresión ( x¹⁰ - 1).

In[6]:= Expand[ % ]. Out[6]:= -1 + x ¹⁰



3

Ejecuta los productos de la última expresión y la

4

simplifica

Simplificación de expresiones algebraicas.

Existen muchas situaciones donde nosotros queremos escribir en su más simple forma una expresión algebraica. Aunque es difícil conocer exactamente un significado, en todo caso por su forma simple un importante procedimiento práctico es ver las diferentes formas de una expresión y escoger una que involucre el menor número de términos que la forman.

Trata de encontrar la forma de la expresión con el Simplify[expresión]

menor número de partes o términos aplicando una secuencia

de

las

diferentes

transformaciones

algebraicas.

Para simplificar x² + 2x + 1 en descomposición de factores:

In[1]:= Simplify[x^2 + 2x + 1]

2

Out[1]:= (1 + x)²

Factorizar una expresión algebraica, es representar la expresión como productos ó potencias de los términos involucrados, generalmente se obtiene una expresión con menos términos. (no siempre) 3 Este es un ejemplo en el que factorizar nos da un resultado con más términos que la expresión original.

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Retomemos el ejemplo anterior : (In[5])

In[2]:= Simplify [x^10 - 1]

1]Out[2]:= 1 + x¹⁰

In[3]:= Expand[ % ]

Ejecuta los productos de la última expresión y la simplifica. Obteniendo un resultado más compacto.

Out[3]:= -1 + x ¹⁰

In[4]:= Factor[%] Out[4]:= (-1 + x) (1 + x) (1 - x + x² - x³ + x⁴ ) (1 + x + x² + x³ + x⁴ ) Notamos que Simplify y Expand nos dan el mismo resultado y Factor una forma extensa.

Podemos frecuentemente usar Simplify para visualizar una expresión complicada. Como ejemplo integramos y diferenciamos)5 la función: f(x) = 1/ ( x⁴ - 1).

Resuelve la integral: ∫ 1/ ( x⁴ -1 ) dx

In[1]:=Integrate[1/(x⁴-1), ] -ArcTan[x]

Log[1 - x]

Log[1 + x]

Out[1]:= -------------- + --------------- - ---------------- + c 2

4

4

In[2]:= D[%,x] -1

Diferenciando el resultado anterior.. 1

1

Out[2]:= ----------- - ------------ - ------------4 (1 - x)

4 5

Resultado de la integral.

4 (1 + x)

2(1 + x)²

Como en este caso es común obtener una expresión mas complicada.

En este ejemplo la expresión al ser desarrollada se obtiene un resultado más compacto. Los comandos: Integrate y D serán vistos más adelante en él capitulo de cálculo.

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Aplicando a la última expresión Simplify obtenemos

In[3]:= Simplify[%]

su forma más simple 1 Out[3]:=------------1 + x⁴

Utilizando en

la

adecuadamente

mayoría

de

los

los casos

comandos es

y

posible

una

correcta

sintaxis

manejar

cualquier

operación

Algebraica.

Nótese que MATHEMATICA no devuelve el resultado esperado sino que realiza el proceso de reconocimiento por lo que será necesario indicar al programa lo que queremos mediante comandos.

El tratamiento de las expresiones es una de las aplicaciones más poderosas de MATHEMATICA, ya que es capaz de factorizar, ejecutar productos notables, simplificar,

ordenar

bajo

requerimientos

concretos

y

particulares

como

agrupaciones por denominador común, por grado de potencias, por variable, etc.

Un acercamiento al uso de los comandos mencionados en la sección anterior se propone a continuación.

Expand [ ] A la vez realiza los productos y potencias que involucra la expresión y muestra el resultado como una suma de términos.

Factor [ ] Muestra la expresión como productos de factores.

Simplify [ ] Trata de encontrar la forma original de la expresión representándola con el menor número de componentes aplicando las reglas algebraicas.

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Otros comandos básicos para manejo del álgebra.

Expandall [] aplica Expand a todos los elementos posibles que se puedan obtener dado una operación.

Together [] Acomoda todos los términos en un común denominador.

Apart [] Separa todos los términos con denominador simple.

Cancel [] Elimina los factores comunes en el denominador y numerador.

Collect [, x] Agrupa todas las potencias de la variable x.

FactorTerms [ , ] Pone como factor todo aquello que no depende de la variable nombrada en "variable", en una expresión algebraica.

Exponent [expr, form] Muestra el coeficiente de form.

Part [expr, i] Muestra el i-esimo término de la expr.

Numerator[expr] Numerador de la expr.

Denominator[expr] Denominador de la expr.

Apliquemos en los siguientes ejemplos el uso de los comandos anteriores.

In[1]:= A =(x 1)^2 (2 + x) / ((1 + x) (x 3)^2)

(-1 + x)² (2 + x) A la variable A le asigna:

-----------------------(-3 + x)² (1 + x)

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Out[1]:= (-1 + x)² (2 + x) ---------------------(-3 + x)² (1 + x)

In[2]:=Expand[A] Expande el numerador pero deja en forma de producto Los factores el denominador. Out[2]:= 2

3x

x³

----------------------- - ---------------------- + ----------------------(-3 + x)² (1 + x)

In[3]:=ExpandAll[A]

(-3 + x)² (1 + x)

(-3 + x)² (1 + x)

Expande el numerador y denominador.

Out[3]:= 2

3x

x³

------------------------- - ---------------------------- + ---------------------------9 + 3 x - 5 x³ + x³

9 + 3 x - 5 x² + x³

9 + 3 x - 5 x² + x³

Del último resultado el comando Together In[4]:=Together[%]

agrupa todos los Términos del denominador y los ubica sobre un solo denominador.

Out[4]:= 2 - 3 x + x³ ------------------------9 + 3 x - 5 x² + x³

In[5]:=Apart[%]

Apart separa cada término dejando denominador simple.

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Out[5]:= 5

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1

1 + ------------ + ------------- + ------------(-3 + x)²

4 (-3 + x)

4 (1 + x)

In[6]:=Factor[%]

Factor factoriza todo, en este caso volviendo a la expresión Original.

Out[6]:= (-1 + x)² (2 + x) ---------------------(-3 + x)² (1 + x)

In[7]:=Simplify[%]

Recordemos que Simplify nos da la forma más simple de Escribir una expresión.

Out[7]:= (-1 + x)² (2 + x) -------------------------9 + 3 x - 5 x² + x³

Otro ejemplo es: In[1]:= v =

Hace V = ( 3 + 2 x + y )³ con Expand

Expand[(3 + 2x + y)^3]

desarrollamos el cubo.

Out[1]:= 27 + 54 x + 36 x² + 8 x³ + 27 y + 36 x y + 12 x² y + 9 y² + 6 x y² + y³

Collect agrupa los términos donde está In[2]:= Collect[v, x]

involucrada la variable x, tomando en cuenta la potencia.

Out[2]:= 27 + 8 x³ + 27 y + 9 y² + y³ + x² (36 + 12 y) + x (54 + 36 y + 6 y² )

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In[3]:= Collect[v, y]

31

Igual a la orden anterior solo cambia la variable.

Out[3]:= 27 + 54 x + 36 x² + 8 x³ + (27 + 36 x + 12 x² ) y + (9 + 6 x) y² + y³



Manejo de comandos avanzados. Transforma las funciones trigonométricas



Expand[,Trig>True]

escritas como Seno²x, en términos de Seno(2x).

Ejemplo: Sea el producto de esta expresión trigonométrica Cos³x Seno²x.

In[1]:=Expand[Cos[x]^3Sin[x]^2,

Transforma la expresión trigonométrica en forma de un ángulo múltiplo.

Trig>True]

Out[1]= Cos[x]

Cos[3 x]

Cos[5 x]

----------- - -------------- - -------------8

16

16

Transforma las funciones trigonométricas Factor [, Trig>True ]

escritas como Seno2x, en términos de Seno²x.

In[2]:=Factor[%1, rig>True] Regresa a la expresión original. Out[2]= Cos³[x] Sin²[x]

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Distribuye el exponente en términos que operen

PowerExpand [ ]

con más de dos variables

Ejemplo:

MATHEMATICA no expande In[3]:= Sqrt[x y]

automáticamente la potencia de Los productos.

Out[3]= Sqrt[x y]

Deja indicada la operación.

In[4]:= PowerExpand[%3]

Expande la potencia en los términos involucrados. Out[4]=Sqrt[x] Sqrt[y]

Coefficient ]

Señala los coeficientes de la variable en Cuestión.

Desarrollamos esta expresión.

In[1]: = W = Expand[(1 + 3x +4y^2)^2] Out[1]:= 1 + 6 x + 9 x² + 8 y² + 24 x y² + 16 y⁴

In[2]:=Coefficient[Wx]Coefficient Out[2]:= 6 + 24 y²

Exponent [ ]

nos muestra los coeficientes de la variable x.

Obtiene la potencia mayor de la variable Contenida en una expresión.

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Exponent nos muestra el máximo exponente de la In[3]:= Exponent[W, y]

expresión algebraica 1 + 6 x + 9 x² + 8 y² + 24 x y² + 16 y⁴ con respecto a "y".

Out[3]:= 4

Part [ n ]

In[4[:]= Part[W4]

El siguiente comando muestra el n-ésimo término de una expresión.

Part nos muestra el cuarto término de la expresión 1 + 6 x + 9 x² + 8 y² + 24 x y² + 16 y⁴.

Out[4]:= 8y²

Los comandos Coefficient y Exponent, son efectivamente tareas para trabajar polinomios, sobre todo los que se escriben como una suma de términos en una forma Expand.



Controlando el despliegue de expresiones largas.



El comando punto y coma " ; " Al final de la expresión a evaluar, la ejecuta pero no muestra el resultado.

 In[1]:= Expand[(x + 5y +10)^4] ; Ejecuta Expand sin mostrar el resultado.



Expr// Short

Continúa en línea el proceso mostrando una forma reducida de Out (salida de resultado) de la expresión.

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A l aplicar

34

el comando Short Despliega n términos dejando

In[2]:=% //Short en espera los restantes según el número de términos que integran La expresión. En este caso muestra 3 y esperan 12.

Out[2]:=//Short= 10000 + 4000 x + + 625 y⁴ Short[%, 2] = 10000 + 4000 x + 600 x² + 40 x³ + + 500 x y³ + 625 y⁴ Del resultado [2] duplica el número de términos mostrados y deja en espera 9 restantes.

Short[%, 3] 10000 + 4000 x + 600 x² + 40 x³ + x⁴ + 20000 y + + 5000 y³ + 500 x y³ + 625 y⁴ Del resultado [2] triplica el número de términos mostrados y esperan 6.

Lenght[expr]

Nos muestra el número de términos que integran la expresión.

In[1]:=t = Expand[(x + 2 y + 5 y)^4] Out[1]=x⁴ + 28 x³ y + 294 x² y² + 1372 x y³ + 2401 y⁴

In[2]:= Length[t] Lengh [%] Nos muestra el número de términos que integran la Out[2]=5

última expresión.

Con la descripción de los comandos anteriores el usuario debe ser capaz de trabajar y manipular cualquier expresión algebraica. De una manera rápida y precisa.

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CAPITULO III ALGEBRA LINEAL. El álgebra lineal es otra rama importante de las matemáticas para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales y matrices; determinantes; vectores en el espacio bidimensional y tridimensional; espacios vectoriales; transformaciones lineales; eigenvalores (valores propios) y eigenvectores (vectores propios); aplicaciones e introducción a los métodos numéricos del álgebra lineal. 

Matrices y Vectores

Definición de matriz. Es un arreglo rectangular en renglones y columnas de números. Los números del arreglo se conocen como elementos de la matriz. La sintaxis para representar

vectores y matrices en MATHEMATICA es muy

simple.

{A1, B1,..Xn}.

In[1]:=V1 = {x, y, z} Out[1]={x, y, z}

Podemos asignar cualquier variable para definir un vector. 

Construcción de matrices. Comandos principales.

La forma directa de construir una matriz está determinada por la sintaxis: {{A, B, ..}, {A1, B1,..}, {An, Bn, ..}}. La cual podemos representar mediante el nombre o símbolo que le asignemos.

In[1]:=A =

(Recordemos que el punto y coma ; deja indicada

{{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}};

la entrada sin mostrar la salida.

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MatrixForm[xxx]. Nos muestra la matriz en un arreglo bidimensional en su estructura clásica.

In[2]:= MatrixForm[%] Out[2]//MatrixForm= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Escribe en forma matricial la última salida.

DiagonalMatriz[{a, b, c}]. Genera una Matriz diagonal con los elementos listados ubicándolos en la diagonal principal.

In[3]:=

Genera una Matriz diagonal con los elementos listados

DiagonalMatrix[w, y, z]

[w, y, z] ubicándolos en la diagonal principal.

Out[3]=MatrixForm= {{w, 0, 0}, {0, y, 0}, {0, 0, z}}

IdentityMatrix[n]. Genera una Matriz Identidad de n x n.

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In[4]:=IdentityMatrix[4]

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Genera una Matriz Identidad de 4 x 4.

Out[4]=MatrixForm= {{1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0, 1}}



Como hacer tablas de datos mediante los comandos: Table, Product, Sum.

Podemos listar una tabla de valores, podemos generar la tabla, por ejemplo, para evaluar una expresión por una secuencia de valores de parámetros diferentes.

In[1]:=

Esta expresión nos genera una tabla de

Table[i^3, {i, 3}]

valores de i³, donde i toma valores de 1 a 3.

Out[1]:={1, 8, 27}

TableForm[xx]. Muestra en forma tabular o vertical los datos.

In[2]:=TableForm[%]

Muestra en forma tabular o vertical los datos.

Out[2]//TableForm= 1 8 27

In[2]:=

Genera una tabla con los elementos de

Table[Sin[n Pi/5], {n, 0, 5}]

Seno(n/5) donde n toma valores desde 0 hasta 5.

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Out[2]:= Pi

2 Pi

3 Pi

4 Pi

{0, Sin[---], Sin[------], Sin[------], Sin[------], 0} 5

5

5

5

El resultado deja indicada la tabla sin mostrar valores por ser indeterminados.

In[3]:=N[%]

Muestra la última expresión

Out[3]= {0,

0.587785,

0.951057,

numéricamente.

0.951057,

0.587785, 0}

Otro ejemplo es: In[3]:=

Construye la tabla X + 2 i donde i toma valores desde 3 hasta 6

Table[x^i + 2i, {i, 3, 6}]

Out[3]:={6 + x³ , 8 + x⁴ , 10 + x⁵ , 12 + x⁶ }

El comando Product usa exactamente la misma interacción de notación así como Sum.

In[4]:=

Out[4]:=

Product[x^i + 3i, {i, 3}]

(3 + x) (6 + x² ) (9 + x³ )

In[5]:= Sum[x^i/i, {i,5}]

Out[5]:= x²

x³

x⁴

x⁵

x + --- + --- + --- + --2

3

4

5

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Tablas de matrices.

Table[f, {i, m}, {j, n}].

Construye una matriz de m x n dónde f es una función de i y de j, que toma valores hasta n y m respectivamente.

De los comandos más comunes para la construcción de matrices Table es el más general con el cuál podemos producir muchas clases de matrices.

In[1]:=

Construye la matriz b(i , j) dónde i y j

Table[b[i, j], {i, 2}, {j, 2}]

toman valores de 1 hasta 2

Out[1]=MatrixForm=

Obtenemos la matriz con 4 x 2 con las

{b[1, 1], b[1, 2]}, {b[2, 1], b[2, 2]}}

características de la tabla b(i , j).

Array[b, {2,2}]. Es otra forma de construir la misma matriz.

In[2]:= Array[b, {2,2}]

Out[2]=MatrixForm= {{b[1, 1], b[1, 2]}, {b[2, 1], b[2, 2]}}

Table[o, {m}, {n}]. Obtenemos la matrix 0 de m x n

In[2]:=

Out[2]=MatrixForm=

Table[0, {3}, {4}]

{{0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0}}

Obtenemos la matrix 0 de 3 x 4

Obtenemos la matriz cero.

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Algunos tipos de matrices especiales las podemos construir agregando alguna opción especial al comando Table.

Table[Random[], {m}, {n}]. Obtenemos una matriz con números aleatorios entre 0 y 1 según el tamaño que le indiquemos en m x n.

In[2]:=Table[Random], {3}, {3}] Out[2]//MatrixForm= {{0.991966, 0.00169522, 0.707122}, {0.118818, 0.68265, 0.609162}, {0.995611, 0.857357, 0.819188}} Obtenemos una matriz con números aleatorios entre 0 y 1 de tamaño 3 x 3



Multiplicación de una matriz por un escalar.

Sean las matrices m1 y m2. In[1]:=

Out[1]Matrixform

m1 = {{a, b, c}, {d, e, f}}

{{a, b, c}, {d, e, f}}

In[2]:=

Out[2]Matrixform

m2 = {{r, t, w}, {y, ñ, k}}

{{r, t, w}, {y, ñ, k}}

Multiplicamos m1 por el escalar 2 y( 2 por m1)

In[3]:=m1 * 2 Out[3]MatrixForm{{2 a, 2 b, 2 c}, {2 d, 2 e, 2 f}}

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In[4]:=2 * m1 Out[4]MatrixForm {{2 a, 2 b, 2 c}, {2 d, 2 e, 2 f}}

Multiplicamos m1 por el escalar seno. In[4]:=2 * m1

Out[4]MatrixForm {{2 a, 2 b, 2 c}, {2 d, 2 e, 2 f}}

Out[5] MatrixForm={{a Seno, b Seno, c Seno}, In[5]:=m1 * Seno

{d Seno, e Seno, f Seno}}



Suma de matrices.



Matrices de tamaño diferente no se pueden sumar.

Out[6]= MatrixForm In[6]:=m1 + m2

{{a + r, b + t, c + w}, {d + y, ñ + e, f + k}}

In[7]:=

Out[7] MatrixForm

m2+m1

{{a + r, b + t, c + w}, {d + y, ñ + e, f + k}}

In[8]:=

Out[8] MatrixForm

m2 + (-m1)

{{-a + r, -b + t, -c + w}, {-d + y, ñ - e, -f + k}}

m1-m2 = {{a - r, b - t, c - w}, {d - y, -ñ + e, f - k}}

MATHEMATICA efectúa las operaciones siguiendo las reglas de la aritmética matricial.

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

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42

Multiplicación de matrices de diferente tamaño.

Nota. La definición de la multiplicación de matrices requiere que el número de columnas del primer factor sea igual al número de renglones del segundo factor. Si no satisface esta condición el producto no esta definido.

interior 2x3 3x4

exterior

El número de columnas del primer factor es igual al número de renglones del segundo factor. La multiplicación dará una matriz de 4 x 2

Ejemplo: Definimos las matrices m5 y m6.

In[1]:=

In[2]=m6 = {{4, 1, 4, 3}, {0, -1, 3, 1}, {2,

m5 = {{1, 2, 4}, {2, 6, 0}};

7, 5, 2}};

In[3]:=m5 . m6 Ejecuta la multiplicación Out[3]={{12, 27, 30, 13}, {8, -4, 26, 12}} de las matrices m5 por m6.

MatrixForm[%] 12 27 30 13 8

-4 26 12

Obtenemos la matriz de 4 x 2.

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

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43

Multiplicación de matrices que no cumplen con las reglas del álgebra matricial MATHEMATICA manda un mensaje de error.

In[1]:=m66 = {{1, 2, 4}, {2, 6, 0}, {2, 5, 7}, {2, 4, 5}}; definimos la matriz m66

In[2]:=m67 = {{4, 1, 4, 3}, {0, -1, 3, 1}} Definimos la matriz m67 In[3]:=m66 . m67 Multiplica las matrices m66 por m67. Al no poderla ejecutar la operación manda el siguiente mensaje: Dot::dotsh: Tensors {{1, 2, 4}, {2, 6, 0}, , {2, 4, 5}} and {{4, 1, 4, 3}, {0, -1, , 1}} have incompatible shapes. Out[3]= {{1, 2, 4}, {2, 6, 0}, {2, 5, 7}, {2, 4, 5}} . {{4, 1, 4, 3}, {0, -1, 3, 1}} Dejando indicado la multiplicación que no cumple con las reglas del álgebra matricial. 

Comandos importantes de operaciones con matrices





Inverse[m]. Obtenemos la matriz inversa de m.



Det[m]. Calcula el determinante de la matrix m. Transpose[m]. Obtenemos la matriz transpuesta.

Consideremos la matriz de (2 x 2). si ad-bc ≠ 0, entonces tenemos: In[1]:=m1= {{a, b}, {c, d}};

In[1]:=m1= {{a, b}, {c, d}};

Out[2]= In[2]:=

d

b

c

a

Inverse[m1] {{-------------------, -(----------------)}, {-(---------------), --------------}} -(b c) + a d

-(b c) + a d

-(b c) + a d -(b c) + a d

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44

Sea m2 una matrix de 2 x 2.

In[3]:=m2 = {{1, 2}, {1, 3}};

Out[3]={{1, 2}, {1, 3}}

In[2]:=m3 = Inverse [m2] Encuentra la inversa de m2 y le asigna

Out[2]= {{3, -2}, {-1, 1}} Obtenemos su inversa

el nombre de m3.

de m2

Comprobamos que es inversa mediante el producto de m1. m1¯¹ = I (Matriz Identidad).

In[3]:= m2. m3 Ejecuta el producto de m2 por m3.

Out[3]={{1, 0}, {0, 1}} Obtenemos la matriz identidad de 2 x 2 quedando comprobada.

In[4]:= MatrizForm[%] 1 0 0 1

Otro ejemplo seria: Dada la matriz m4, obtenemos la matriz inversa m5 y comprobamos obteniendo la matriz identidad.

In[4]:= m4 =

Out[4]=

{{Cos[0], Sin[0]}, {-Sin[0], Cos[0]}} ;

MatrixForm{{1, 0}, {0, 1}}

In[5]:=

In[6]:=

m5 = Inverse[m4] = {{1, 0}, {0, 1}};

m4. m5 = {{1, 0}, {0, 1}}

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45

Sea la matriz m6.

Trate de explicar las operaciones de este ejemplo paso por paso. In[1]:=m6 1 1 1

1 1

4

2

1

1

= {{---,---, ---}, {---, ---, ---}, {(-)----, ----, ----}}; 5 5 5

5

5 5

5

10 10

In[2]:=m7 = Inverse[m6]. 17

5

5

5

{{1, 0, -2}, {------, -(----), 2}, {(-)-----, -----, 0}}; 3

3

3

3

In[3]:=MatrixForm[%] 1

0

17

5

-----

-(----)

3

-2

2

3 5

-(---) 3

5 ----

0

3

In[4]:=M6. m7

In[5]:=MatrixForm[%]

{{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}}

1 0 0 0 1 0 0 0 1

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46

Determinante de una matriz.

Sea A una matriz cuadrada, la función determinante se denota por det, y se define como det(A) como la suma de todos los productos elementales con signo tomados de A.

Consideremos la matriz m8 In[1]:=m8 = {{a, b, c}, {d, e, f}, {g, h, i}},{{a, b, c}, {d, e, f}, {g, h, i}};

In[2]:=Det[m8] obtenemos el determinante de la matriz m8.

Out[2]= -(c e g) + b f g + c d h - a f h - b d i + a e i Muestra el resultado Det[m8]

Sea la matriz m9. In[1]:= 1

1

1

1

1

4

2

1

1

m9 ={{----, ----, ----}, {----, ----, ----}, {-(----), -----, -----}}; 5

5

5

5

5

5

5

10

10

In[2]:=Det[m9]//N

Out[2]=

Encuentra el determinante de m9.

-0.06 expreselo numéricamente

Sea la matriz m10. In[3]:=m10 = {{1, 2, 3}, {-4, 5, 6}, {7, -8, 9}}

Out[3]:= {{1, 2, 3}, {-4, 5, 6}, {7, -8, 9}};

In[4]=m11 = Det[m10]//N Encuentre el determinante de m10 y expreseló numéricamente.

Out[4]=240 Valor del determinante.

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47

Matriz transpuesta.

Dentro de las propiedades fundamentales de la función determinante, es la relación entre la matriz cuadrada y su determinante. Si A es cualquier matriz m x n, entonces la transpuesta de A se denota por At y se define como la matriz n x m cuya primera columna es el primer renglón de A, su segunda columna es el segundo renglón de A, su tercera columna es el tercer renglón de A, etc.

Sí A es cualquier matriz cuadrada, entonces el det(A)= det(Aʵ). Observemos el siguiente ejemplo.

In[1]:=m12

Out[1]=

= {{3, 5, -2}, {5, 4, 1}, {-2, 1, 7}}

{{3, 5, -2}, {5, 4, 1}, {-2, 1, 7}}

Definimos m12.

In[3]:=m13=Transpose[m12]

Out[3]=

Construimos m13 = a la transpuesta de

{{3, 5, -2}, {5, 4, 1}, {-2, 1, 7}}

m12.

Obtenemos la transpuesta de m12.

In[4]:=d1 = Det[m12] Definimos d1 =

Out[4]= Obtenemos el determinante.

determinante de m12

-130

Out[5]=-130 In[5]:=d2 = Det[m13] Definimos d2 = determinante de m13

Obtenemos el determinante, quedando comprobado que el det A =detAʵ

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48

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Una recta en un plano x y se representa algebraicamente mediante una ecuación de la forma: A₁ X + A₂ Y = B

Una ecuación de este tipo se conoce como lineal en las variables x y , en forma general se define una ecuación lineal o plana en las n variables X₁, X₂, ...Xn como aquélla que se puede expresar en la forma:

A₁ X₁ + A₂ X₂ +....+ An Xn = B

Dónde A₁, A₂, An...y B son constantes reales. 

Solve[{Ec1, Ec2,..Ecn}, {x, y,..Vn}]. Resuelve la ecuación, mostrando la solución para las diferentes incógnitas. 

El sistema tiene solución única.

Ejemplo. Sean las ecuaciones:

x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y –5Z = 0



In[1]:= Solve[{x + y + 2z == 9,

Out[1]= {{x -> 1., y -> 2., z -> 3.}}

2x + 4y -3z == 1,

Obtenemos el resultado x=1, y=2

3x + 6y -5z == 0}, {x, y, z}]

Z=3

El sistema tiene infinidad de soluciones.

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49

El siguiente sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, tiene infinidad de soluciones, ya que podemos asignar un valor arbitrario a cualquiera de las incógnitas.

In[2]:= Solve[{4x - 2y == 1, x - 4y + 7z == 5}, {x, y, z}]

Out[2]= 19

y

1

y

{{z -> ---- + ----, x -> ---- + ----}} en este caso y toma un valor arbitrario. 28

2

4

2

3 

1

{{z -> ---- + x, y -> -(----) + 2 x}} en este caso x toma un valor arbitrario. 7

2

1 

4 + 2 (-5 + 7 z)

{{y -> -(----) + -----------------------, en este caso z toma un valor arbitrario. 2

7

4 + 2 (-5 + 7 z) x -> ---------------------}} 14

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

50

El sistema no tiene solución.

Ejemplo: X + Y =4 2X+2Y=6 In[5]:=m1 = {{1, 1}, {2, 2}}

Out[5]={{1, 1}, {2, 2}}

Definimos m1

In[6]:=LinearSolve[m1, {4, 6}] Trata de resolver el sistema

Out[6]=LinearSolve::nosol: El sistema no tiene solución.

El siguiente mensaje es mostrado cuando no existe solución del sistema. Linear equation encountered which has no solution. LinearSolve[{{1, 1}, {2, 2}}, {4, 6}]

Otra forma de resolver un sistema lineal es el siguiente: Sea el sistema: x + 5y + 6z = 5 -2x + 5y + z = 7 -2x + 3y + 6z = 2

In[1]:= m = {{1, 5, 6}, {-2, 5, 1}, {-2, 3,

Out[1]= {{1, 5, 6}, {-2, 5, 1}, {-2, 3, 6}}

6}} Definimos la matriz m

5 In[2]:=m . {x, y, z} == {5, 7, 2} Definimos el Sistema m x=

7 2

Out[2]={x + 5 y + 6 z, -2 x + 5 y + z, -2 x + 3 y + 6 z} == {5, 7, 2}

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In[3]:=Solve[%, {x, y, z}] Pedimos resuelve el sistema.

Out[3]= 1

150

41

{{x -> -----, y -> -----, z -> -(-----)}} 101

101

101

x = 1 /101, y = 150 / 101, z = - 41 / 101 El sistema es resulto con éxito.

51

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CAPITULO IV CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL. [El cálculo es] el producto de un dramático conflicto intelectual que ha durado veinticinco siglos. Richard Courant. Principales contribuyentes al cálculo. 287-212 a.C. Arquímedes 1571-1630 J. Kepler. Leyes del movimiento planetario. 1596-1650 R. Descartes. Geometría analítica de Descartes. 1601-1665 Pierre de Fermat. 1623-1662 B. Pascal. 1652-1719 Michel Rolle. 1642-1727 I. Newton. Descubre el Cálculo. 1646-1716 G. Leibniz. 1661-1704 L´Hopital. Primer texto de Cálculo. 1667-1748 J. Bernulli. 1685-1731 Brook Taylor. 1698-1746 Colin Maclaurin. 1707-1783 L. Euler. Introduce el número e. 1710-1761 Thomas Simpson. 1718- 1799 M. Agnesi. 1736-1813 Lagrange. Comienza Mecánica Analítica. 1749-1827 Piere-Simon de Laplace. 1777-1855 C. Gauss. Demuestra el teorema fundamental del álgebra. 1789-1857 A. Cauchy. Noción precisa del cálculo. 1793-1841 George Green. 1815-1897 K. Weierstrass 1819-1903 George Gabriel Stokes 1826-1866 G. Riemann. Integral de Riemann. 1839-1903 J. Gibss. 1850-1891 S. Kovalevsky. E es trascendental (Hermite). 1875-1941 H. Lebesgue. Integral de Lebesgue.

52

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53

MATHEMATICA tiene la habilidad de manejar expresiones simbólicas, siempre utilizadas en matemáticas. Cálculo es un ejemplo, con MATHEMATICA podemos diferenciar una expresión simbólicamente y obtener una fórmula para el resultado. Obtener fórmulas así como el resultado de cálculos es usualmente deseable cuando se puede. Sin embargo hay muchas circunstancias donde es matemáticamente imposible obtener una fórmula explícita como resultado de un cálculo, esto sucede por ejemplo cuando uno trata de resolver una ecuación para la cual no existe una solución, en tal caso mejor recurrimos a un método numérico de aproximación.



Comandos principales de Derivadas y Limites.  

D[f, x]. Derivada parcial df/dx.

Limit[expr, x->x°] Encuentra el limite cundo x se aproxima x° 

D[f, {x, n}]. Derivadas de orden superior dⁿ /dx ƒ.  

Dt[f]. Diferencial total df.

Dt[f, x] Derivada implícita d/dx ƒ.

Ejemplos. Obtener las derivadas de las funciones.

f(x)=(1 - 4 x + 2 x² )⁶⁰

Definimos f(x).

In[1]:=D[(2x^2 - 4x + 1)^60, x]

Out[1]=60 (-4 + 4 x) (1 - 4 x + 2 x² )⁵⁹

Pedimos la derivada de f(x) con respecto a x.

Obtenemos la derivada de f(x).

f(x) = - Seno (3 x - x³) In[4]:= f(x)= -Sin[3 x – x^3]; Damos entrada a la función.

Definimos f(x)

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In[5]:=D[%, x] del último resultado Pedimos la derivada de f(x) con respecto a x.

54

Out[5]= -((3 - 3 x² ) Cos[3 x - x³ ]) Obtenemos la derivada buscada.

f(x) = t³ - 2t + 1/ t⁴+3 Definida f(x) In[6]:=w = ((t^3 - 2t + 1)/( t^4 + 3)) Asignamos a W= a la función f(x)

Out[6] 1 - 2 t + t³ --------------

In[7]:= D[w, t] La derivada de w con respecto at

3 + t⁴ Out[7]= -4 t³ (1 - 2 t + t³ ) -2 + 3 t² ---------------------- + ------------- Obtenemos la derivada. (3 + t⁴ )²

3 + t⁴

Nota: cos x³ = cos(x³) y (cos x)³ = cos³ x por lo tanto nuestra función la podemos escribir como: f(x) = Seno³ 4x = ((Sin[4x])^3) In[8]:=a = ((Sin[4x])^3) Definimos a= Seno³ 4x Out[8]=Sin[4 x]³ Nótese que esta expresión es la misma que Seno³ 4x

In[9]:=D[a, x] Pedimos la derivada de a con respecto a x.

Out[9]:=12 Cos[4 x] Sin[4 x]² = 12 Sin² (4x) Cos (4x) Obtenemos la derivada

La descripción de los pasos es similar a las anteriores.

f(x) = Sen(Cos(x²)

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In[3]:=F = Sin[Cos[x^2]] Out[3]=Sin[Cos[x² ]]

55

In[4]:= D[%, x] Out[4]=-2 x Cos[Cos[x² ]] Sin[x² ]

f(x) = Sen ( Cos (Sen 2x))



In[5]:= t = Sin[ Cos[ Sin[2x]]]

In[6]:= D[%, x]

Out[5]= Sin[Cos[Sin[2 x]]]

Out[6]= -2 Cos[2 x] Cos[Cos[Sin[2 x]]] Sin[Sin[2 x]]

Evaluación de una derivada.

(1 + x²)³ f´(3) sí f(x) = --------- Definimos f(x). (2 + x)³ 48 In[1]:= h = D[((x^2 +1)/(x + 2))^3, x] /. x->3 Out[1]= ---- Derivada evaluada. Asignamos h= derivada de f(x) con respecto 5 a x evaluada en x= 3



Derivadas de orden superior.

Obtener la 2ª derivada de la siguiente función. In[1]:= (1 + x²)³ f(x) = -------------- ; Definida f(x). (2 + x)³ In[2]:= D[%, {x, 2}] Pedimos la segunda derivada de la última expresión.

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56

Out[2]= 24 x² (1 + x²) 36 x (1 + x²)² 6 (1 + x²)² -------------------- - -------------------- + ----------------- + (2 + x)³

(2 + x)⁴

(2 + x)³

12 (1 + x²)³ ---------------- Aquí esta la 2ª derivada. Ok.

(2 + x)⁴

Es importante que el alumno observe y distinga los diferentes comandos así como la correcta sintaxis.

f(x) = -8 + 7 x - 4 x² + 2 x³ Definida la función f(x).

f´(x) In[46]:= 2 x^3 - 4 x^2 + 7 x – 8 Out[46]= -8 + 7 x - 4 x² + 2 x³

In[48]:= D[%46, {x, 2}] 2ª derivada con respecto a x de la salida In[46] In[49]:= D[%46, {x, 3}] 3ª derivada con respecto a x de la salida In[46]

In[50]:= D[%46, {x, 4}] 4ª derivada con respecto a x de la salida In[46]

In[47]:=D[%, x] Out[47]= 7 - 8 x + 6 x² 1ª derivada con respecto a x de la última expresión.

f´´(x) Out[48]= -8 + 12 x

2ª derivada

f´´´(x) Out[49]= 12

3ª derivada

f´´´´(x) Out[50]=0

4ª derivada

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

57

Derivación implícita.

Las ecuaciones en las que y no esta despejada en una forma explícita. Y si lo intentamos no parece que se pueda despejar y. ¿ será posible encontrar dy/dx en estas circunstancias? Si derivando con respecto a x ambos miembros de la ecuación. Ejemplo. 7 Y + Y³ = 3 X³ In[60]:= Dt[%59, x] Dt[f]. In[59]:= Y^3 + 7Y == 3 X^3

Diferencial total .

Out[59]= 7 Y + Y³ == 3 X³ Out[60]= 7 Dt[Y, x] + 3 Y² Dt[Y, x] == 9 X² Dt[X, x]

El símbolo == indica igual

Lo que MATHEMATICA nos muestra como resultado lo podemos interpretar de la siguiente forma. 7 dy/dx + 3 y² dy/dx = 9 x² dx/dx dy/dx (7 + 3 y²) = 9 x² dy/dx = 9 x² / ( 7 + 3 y² )

Otro ejemplo: F(x) = x² - y² - 9 In[7]:= Dt[x^2 - y^2 - 9, x]

Out[7]= 2 x - 2 y Dt[y, x] ;

La derivada total de F(x) = x² - y² - 9 con respecto a x.

2 x = 2 y dy/dx = x/y = dy/dx

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

58

Integrales indefinidas.

Las matemáticas contienen muchos pares de operaciones inversas: adición y sustracción, multiplicación y división, elevación de potencias y extracción de raíces, tomar logaritmos y encontrar antilogaritmos. Hemos visto la derivación, su inversa es la antiderivación. Para denotar la antiderivada usaremos la notación original de Leibniz ∫.

En MATHEMATICA la función Integrate[f, x] es el comando para obtener la integral indefinida ∫fdx, el sistema aplica los teoremas y reglas matemáticas para obtener la integral. Nosotros podemos considerar que el proceso de la integral indefinida es una operación inversa de la diferenciación. Si tomamos el resultado de la integral (Integrate ∫fdx) y la diferenciamos siempre vamos a obtener el resultado matemáticamente igual a la expresión original. En general, sin embargo esto es toda una familia de resultados que tienen la propiedad de la derivada de f(x). Integrate[f, x] da una expresión cuya derivada es f(x). Podemos obtener otras expresiones adicionando una constante arbitraria de integración. La función Integrate asume que cualquier objeto que no detalla la variable de integración es independiente de ella, y la puede tratar como una constante. Como resultado Integrate busca una inversa de la diferenciación parcial. 





Comandos principales de integración.

Integrate[fx, x]. Integral indefinida ∫f dx.

Integrate[f, {x, xmin, xmax}]. Integral definida entre (x min x max).

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59

Ejemplos: Encontrar la Integral (antiderivada) de las siguientes funciones. 4

∫

3

---- - ---- dx x⁵

x⁴

In[1]:= Integrate[(4/x^5) - (3/x^4), x]

Out[1]=-x⁴ + x-³ + c

Encuentre la integral de la función con respecto a x.

Resultado de calcular la integral, la constante C el sistema no la indica.

- 8 + 3 x⁵ + 4 x⁶

∫

----------------------- dx x⁵ Out[2]= 2 ---- + 3 x + 2 x² + c

In[2]:= Integrate[(4x^6 + 3x^5 -8)/x^5, x]

x⁴

∫[3 Sin[t] - 2 Cos[t] dx In[4]:= Integrate[3 Sin[t] - 2 Cos[t], t] Integral indefinida de la función con respecto a t.

Out[4]= -3 Cos[t] - 2 Sin[t] + c

∫Cos[x] Sin[x]⁴ dx Out[5]= In[5]:= Integrate[(Sin [x])^4 Cos[x], x]

Sin[x]⁵ ----------- + c 5

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60

x²

∫

2 Sqrt[-1 + x] x + ------------------- dx 2 Sqrt[-1 + x]

In[3]:= Integrate[%, x]

Out[3]=Sqrt[-1 + x] x² + c

1 + x⁴

∫- -------------------------

dx

x² Sqrt[-1 + x⁴ ]

Out[8]= In[8]:= Integrate[%, x] Sqrt[-1 + x ] ---------------------- + c x

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

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61

Integrales que mathematica puede y no puede resolver.

La evaluación de integrales es mucho más difícil que la evaluación de derivadas. Para las derivadas se tiene un sistemático procedimiento que involucra una serie de reglas que permite trabajar cualquier derivada. Sin embargo para las integrales no tiene tales sistemáticos procedimientos. Habiendo principios generales, pero hay muchas integrales que no pueden realizarse usando estos principios. El tipo de integrales que puede realizar en términos de una función simple, sí bien no en casos de funciones particularmente extensas. Una de las principales capacidades del sistema es la construcción de la función Integrate, ser capaz de iniciar tomando esencialmente cualquier integrando que involucre un particular tipo de función simple, y encontrar la integral si esta puede expresarse en términos del mismo tipo de función simple. Lo relevante de este tipo de funciones simples involucra a: funciones racionales, exponenciales y logarítmicas, como también las trigonométricas y sus funciones trigonométricas inversas. Frecuentemente vamos a obtener integrales que no pude realizar el sistema en términos de funciones simples. En un uso práctico aparecen ciertas integrales que ocurren mas frecuentemente que otras, esta integrales pueden algunas veces expresarse en términos de funciones especiales que frecuentemente definimos específicamente como un camino para representar la integral. Dentro de MATHEMATICA está un tema especial de funciones especiales. Concluyendo MATHEMATICA en la practica divide en tres posibles casos la resolución de integrales.

Integrales simples Integrales de funciones especiales Integrales que no pueden resolverse en término de un standard de funciones simples o especiales.

Ejemplo de integral que no puede resolver el sistema.

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62

∫ Sin[Sin[x]] dx In[1]:=Integrate[Sin[Sin[x]],x]

Out[1]=Integrate[Sin[Sin[x]], x]

Integral indefinida de Seno(Seno x) con Indica el sistema que no puede respecto a x. resolverla. Dejando indicada el comando de integral.



Integrales definidas.(o integral de riemann)

Dos problemas, ambos geométricos, motivaron las dos más grandes ideas del cálculo. El problema de la tangente nos condujo a la derivada. El problema del área nos llevara a la integral definida. Para los polígonos el área apenas si es un problema. Pero cuando consideramos una región limitada por una curva, el problema de asignar el área es de una dificultad mayor, sin embargo, hace más de 2000 años, Arquímedes nos dio la clave de solución, al considerar una sucesión de polígonos inscritos que se aproximan a la región de la curva con una precisión cada vez más grande. Arquímedes fue más allá, considerando polígonos circunscritos. No hay más que un pequeño paso entre lo que él hizo y nuestro tratamiento moderno del área. Tanto Newton como Leibniz presentaron conceptos de la integral definida, sin embargo fue Reimann quien dio la definición moderna.

El teorema de integrabilidad es el más importante para el cálculo de integrales definidas. Si ƒ esta acotada en [a, b] y si es continua en ese intervalo, con excepción de un número finito de puntos, entonces ƒ es integrable en [a, b]. En particular, si ƒ es continua en todo el intervalo [a, b], es integrable en [a, b].

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63

Como consecuencia de este teorema, son integrables las siguientes funciones en todo intervalo cerrado [a, b].

Las funciones polinomiales. Las funciones seno y coseno. Las funciones racionales, una vez que el intervalo [a, b] no contenga puntos en los que el denominador sea cero. 

Cálculo de integrales definidas.

El saber que una función es integrable nos permite calcular su integral mediante el uso de una partición regular (subintervalos de igual longitud) y la elección de puntos muestra en cualquier forma que sea conveniente.

Comando.

Integrate[f, {x, xmin, xmax}]. Integral definida.

Ejemplos: a

∫

√ [a² - x² ] dx

⁰ Out[5]= In[5]:= Integrate[(a^2 - x^2)^(1/2), {x, 0, a}] Integra la función definida en el intervalo cerrado de [ 0, a ].

a² Pi ---------Unidades² Obtenemos el Resultado. 4

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1

∫ x⁴ √ (1 - x²) dx -₁ In[9]:= Integrate[x^4/Sqrt[1 - x^2], {x, -1, 1}]

Out[9]=

3 Pi Integra la función definida en el intervalo -------Unid²Obtenemos el Resultado cerrado [ -1, 1 ] 8

-₄

∫ ₀

1 ------------- dx -a⁴ + x⁴

In[9]:= Integrate[1/(x^4 - a^4), {x, 0, 4}]

Out[9]= -(Log[-a] - Log[a]) --------------------------- + 4 a³ 4 -2 ArcTan[----] + Log[4 - a] - Log[4 + a] a ------------------------------------------------------- Unidades² 4 a³

64

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

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65

Integrales definidas auxiliándonos con gráficas de las funciones. f(x) = 1 + X² Definimos la función.

In[1]:=Plot[x^2 + 1, {x, -2, 4}, PlotRange->{-1, 5}] Gratificamos la función.

₂

∫

x² +1 dx

-1

In[2]:= Integrate[x^2 + 1, {x, -1, 2}] Integramos la función en el intervalo cerrado [ -1, 2 ]

Out[2]= 6 Unidades² Resultado

f(x) = x + 3 Función definida.

In[3]:= Plot[x + 3, {x, 3, 4}] Graficamos la función.

₃ ∫ x + 3 dx -²

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In[4]:=Integrate[x + 3, {x, -2, 3}] Integramos la función en el intervalo cerrado[-2,3]

66

Integramos la función de –2 hasta 3 35 Out[4]= ----- Unidades² Resultado. 2

f(x)= Sen³ 2x Cos 2x Función definida.

In[3]:= Plot[Sin[2x]^3 Cos[2x], {x, 0, Pi/4}] Gráfica de la función.

Π/4

∫ Sen³ 2x Cos 2x dx ⁰ In[4]:= Integrate[Sin[2x]^3 Cos[2x], {x, 0, Pi/4}]

1

Out[4]= --- Unidades² Obtenemos la integral definida el intervalo cerrado [ 0, 4π]

1/3

f(x)= x

4/3

+x

8

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67

Plot[x^(1/3) + x^(4/3), {x, 1, 8}]

₈

1/3

∫ x ¹

4/3

+ x

dx Out[5]=

In[5]:= Integrate[x^(1/3) + x^(4/3), {x, 1, 8}]

1839

---------- Unidades² Resultado. 28

Plot[Sqrt[x^2 + x] (2 x + 1), {x, 0, 4}]

₄

∫ √(x² + x) * (2x + 1) ⁰ In[6]:= Integrate[Sqrt[x^2 + x] (2 x + 1), {x, 0, 4}]

Out[6]=

80 Sqrt[5] ---------------- Unidades² 3

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68

₅

∫

t √ t² - 4 dx ² In[8]:= Integrate[t * Sqrt[t^2 - 4], {t, 2, 5}]

Out[8]=7 Sqrt[21] Unidades²

TECNICAS DE INTEGRACION 

Integrales que se resuelven por sustitución trigonómetrica.

Sec⁵ x ∫-----------------------dx Definida la función. Sec x

In[8]:= Integrate[(Sec[x])^5 /Sec[x],x]

Out[8]= 3 Sec[x] (3 Sin[x] + Sin[3 x]) ------------------------------------- + C 6

Integral indefinida de la función con respecto a x.

Resultado

t² Cos t³ - 2 ∫ -----------------------dx Función definida. Sen ( t³ - 2 )² In[5]:= Integrate[((t^2Cos[t^3-2]))/(Sin[t^32])^2, t]

Out[5]=

Csc[ 2 - t³ ] ---------------- + c 3

Resultado.

Integral indefinida de la función con respecto a t.

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69

1/2

∫ x (3x + 2) dx Definimos la función. In[5]:= Integrate[x * (3x + 2)^(1/2), x] La integramos con respecto a x

Out[5]= 16 4 x 2 x² Sqrt[2 + 3 x] (-(------) + ------ + ------) + c. 135 45 5 Resultado

Simplify [%]:= Simplificamos el último resultado.



2 (2 + 3 x) (-4 + 9 x) --------------------------- {Sqrt[2 + 3 x]} + c 135 Resultado final.

Integrales trigonométricas. ∫ (Sen x)² dx Sea la función.

In[1]:=Integrate[(Sin[x])^2, x]

Out[1]=

Indicamos que resuelva la integral con respecto a x.

2 x - Sin[2 x] ------------------- + c Resultado. 4

∫ (Cos x)⁴ dx Definida la función. In[2]:= Integrate[(Cos[x])^4, x] Resuelve la integral indefinida de la función con respecto a x.

Out[2]= 12 x + 8 Sin[2 x] + Sin[4 x] -------------------------------------- + c. 32 Resultado

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70

∫ Sen x² Cos x⁴ dx Integrar la siguiente función. In[3]:= Integrate[Sin[x]^2 Cos[x]^4, x] Indicamos resolver la integral indefinida con respecto a x.

Out[3]= 12 x + 3 Sin[2 x] - 3 Sin[4 x] - Sin[6 x] ---------------------------------------------------- + c 192 Exito

∫ Sen 4y cos 5y dx In[4]:=

Out[4]=

Integrate[(Sin[4y]) * (Cos[5Y]), y]



- (Cos[4 y] Cos[5 Y]) ---------------------------- + c 4

Integrales sustituciones para racionalización. ∫ x √ x + 3 dx In[1]:=

Out[1] =

Integrate[x Sqrt[x + 3], x]

12 2x 2 x² Sqrt[3 + x] (-(------) + ------ + -------) + c 5 5 5 3/2

2 (-2 + x) (3 + x) ----------------------- + c 5

In[2]:= Factor[%]

∫ (2x + 1) ( x² + 2x +2 ) dx

In[2]:= Integrate[(2x + 1)/(x^2 + 2 x + 2), x]

Out[2]= - ArcTan[1 + x] + Log[2 + 2 x + x² ] + c

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71

1 ∫--------- dx (√ x) + 2

In[3]:= Integrate[1/(x^(1/2) + 2), {x, 1, 4}] En el eintervalo[1,4]

Out[3]= 2 + 4 Log[3] - 4 Log[4]

∫ (Tan x )³ dx Out[4]= In[4]:= Integrate[(Tan[x])^3, x]

Sec[x]² Log[Cos[x]] + ----------- + c 2

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72

CAPITULO V GRÁFICOS EN DOS DIMENSIONES. 

Comandos básicos.

Estas son algunas opciones para usarse con el comando Plot, que también se usan con el comando Show.

Plot[f, {x, xmin, xmax}] traza f como una función de x desde un intervalo de xminimo hasta x-máximo. Resaltando que daremos uso a las llaves{ }

Plot[{f1,f2,......}, {x, xmin, xmax}] Traza varias Funciones juntas.

Ejemplos: In[1[:=Plot[Sin[x]{x, 0, 4Pi}]

Gráfica la función Seno de x como una función de x, desde 0 hasta 4π.

Graphics. Podemos trazar funciones que tengan particularidades, MATHEMATICA intentará y escogerá una escala apropiada para dibujarla y tomará el intervalo propuesto para x.

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In[2]:=Plot[Tan[x], {x, 6, 6}] Gráfica la función Tg x en el intervalo (–6 , 6)

Graphics. Podemos dar una lista de funciones para trazar a la vez.

In[1]:=Plot[{Sin[x]Sin[2x]Sin[3x]}{x,0,2Pi}] Gráfica las funciones Seno x, Seno 2 x , Seno 3 x en el intervalo (0, 2π)

Graphics-.

Algunas de las opciones que podemos relacionar con el comando “Plot” son:

73

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74

Frame >True. Dibuja un marco alredor de la gráfica y mueve hacia abajo la escala del eje x. Valor por default False.

In [3]:=Plot[Sin[x^2], {x, 0, 5}, Frame->True] Gráfica la función Seno 2 x² en el intervalo ( 0, 5).

Graphics.

AspectRatio. Valor por default 1/GoldenRatio. Da la proporción a lo ancho y alto del trazo de la gráfica. Automatic asigna a los ejes coordenados una escala adecuada para x y.

GridLines > Automatic. Traza líneas perpendiculares al eje x en forma de cuadricula.

In[9]:= Plot[Sin[x^2],{x, 0, 5},Frame->True, GridLines->Automatic,ApectRatio-> Automatic]

Gráfica la función Seno x² en el intervalo (0, 5), dibuja el marco, cuadrícula la gráfica y asigna una escala adecuada para x y.

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75

GraphicsAxes. Valor por default True. Coloca en los ejes x y Los rangos apropiados. False (lo contrario).

In[4]:=Plot[Sin[x^2], {x, 0, 5},Axes>True]

Plot[Sin[x^2], {x, 0, 5}, Axes>False]

Graphics-.

In[3]:=Plot[Sin[x^2], {x, 0, 5}, AxesLabel->{"x", "y"}] AxesLabel->{x, y}. Coloca la etiqueta al eje horizontal con “ x “, y el vertical con “ y “ (valor por default None).

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76

AxesOrigin >{x, y}. Coloca el origen en las coordenadas ( x y ). Tiene como valor por default Automatic. (0, 0).

In[8]:=Plot[Sin[x^2], {x, 0, 5}, AxesOrigin->{3, 0}, AxesLabel->[{"x", "y"}] Cambia el origen de las coordenadas (3, 0).

FrameLabel->{“a”, “b”, “c”, “d”}. Etiqueta el marco a su alrededor. Empezando por el eje x en sentido de las manecillas del reloj.

FrameTicks->{a, a1, a2}, Automatic. Muestra en el borde de la gráfica sobre el eje x la numeración en que ha sido marcado arbitrariamente dicho eje.

PlotLabel ->"xxxxx" Nos permite asignar un titulo o nombre a la gráfica.

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77

El siguiente ejemplo muestra aplica la mayoría de las opciones para el comando Plot.

In[6]:=Plot[Sin[x^2], {x, -6, 6}, Frame ->True, FrameLabel ->{"s1", "s2", " s3", " s4"}, FrameTicks ->{{-6, -4, -2, -1, 0, 6},Automatic}, GridLines >Automatic, AxesLabel ->{"x", "y"},PlotLabel ->"GRAFICO DE LA FUNCION SENO X^2",PlotRange->{-3, 3}]



Recuperar un gráfico y redefinirlo con nuevas opciones mediante el comando “ show ”

MATHEMATICA guarda la información acerca de cada gráfica que genera, misma que puede ser recuperada y cuando esto sucede sus trazos pueden ser modificados por las opciones antes vistas.

Show[ plot ] Recupera la gráfica.

Show[ plot1, plot2,...] Recupera y combina varias gráficas.

Show[GraphicsArray[{{plot1, plot2, ....}...}]] Recupera en ese orden las gráficas.

Mostremos el siguiente ejemplo:

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In[1]:=Plot[fx=2x^3+9/7, {x, 3, 3}]

Out[1]=Graphics

In[2]:=Show[%] Recupera el último gráfico.

Out[2]=Graphics

PlotRange>{y1,y2}.Nos permite modificar el rango eje y .

In[3]:=Show[%, PlotRange>{6, 4}]Recuperamos la última salida y mediante el comando PlotRange> aumentamos el rango del eje y. Out[3]=Graphics

78

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79

In[4]:=Show[%, PlotLabel ->"HURACAN PAULINA", AxesOrigin->{-1, 2}] Recuperamos el último gráfico y lo modificamos con los comandos: PlotLabel >"HURACAN PAULINA AxesOrigin->{-1, 2}] asignándole un titulo al gráfico y cambiando las coordenadas donde se cruzan los ejes x y.

Out[4]=Graphics In[5]:=duca = Plot[fx=2x^3+9/7, {x, 3, 3}] Duca= gráfica la función2x³ + 9/7 en el intervalo (3, 3).

In[6]:= lopo = Plot[fx=2x^2+9/7, {x, -3, 3}, AxesOrigin ->{2, 3}] Lopo = gráfica la función 2x² + 9/7 en el intervalo (-3, 3)y cambia el cruce de los ejes en (2, 3)

Out[6]=Graphics.

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In[7]:=Show[duca,lopo] Recupera las gráficas duca y lopo.

Out[7]=Graphics

Show[GraphicsArray ] agrupa en formas diferentes a los gráficos.

In[8]:=Show[GraphicsArray[{duca, sol, luna}]]Agrupa horizontalmente las gráficas duca,sol y luna las que fueron definidas anteriormente, según el orden propuesto.

Out[8]=Graphics

80

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In[9]:=Show[GraphicsArray[{{duca}, {sol}, {luna}}]]

Agrupa verticalmente según el orden propuesto. Solo cambia la forma de sintaxis de las llaves y comas.

Out[9]:=Graphics

In[10]:=Show[GraphicsArray[{{duca, sol}, {luna, sol}}, Frame ->True]] Agrupa las gráficas:{{duca, sol}, {luna, sol}}, de dos en dos horizontalmente, según el orden propuesto.(Ojo en la sintaxis de las llaves y comas.

81

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

82

Gráfico de una lista datos.

Lejos de haber visto como usar MATHEMATICA para graficar funciones, en la cual le indicamos al programa una función e inmediatamente se construye la curva o superficie evaluando la función en los diferentes puntos. A continuación se describe cómo podemos hacer un gráfico de una lista de datos, en lugar de la función. Los comandos de MATHEMATICA para trazar una lista de datos son muy análogos a los ya vistos anteriormente.

ListPLot[{y1,y2,..}]. Gráfica y1, y2, ...donde x toma el valor 1,2,...

ListPLot[{{x1,y1},{x2,y2},..}]. Gráfica los puntos (x1,y1).

ListPlot[list, PlotJoined ->True]. Une los puntos de la gráfica con una línea.

In[1]:=topo = Table[i^3, {i, 15}] Asigna a topo la tabla de datos i³, donde i toma valores de 1 hasta 15. Out[1]={1,8,27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375} Obtenemos todos los valores de i

In[2]:=ListPlot[topo]Gráfica(y1, y2), ...donde X toma los valores de 1,2,.....15 y Y los valores de la tabla topo.

Out[2]=Graphics

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83

In[3]:=ListPlot[topo, PlotJoined->True]Gráfica los puntos de la tabla topo y lo Une formando una línea.

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84

GRÁFICOS EN TRES DIMENSIONES. Comando principal.

Plot3D[f, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}]Traza una gráfica en tres dimensiones de f como una función de las variables x y.

Ejemplo: Plot3D[Sin[x y], {x, 0, 4}, {y, 0, 4}, Boxed->True]

Gráfica la función Seno (x y), con los valores de X y Y en el intervalo [0, 4].

Este bloque de gráficos es análogo a los de dos dimensiones, en sus comandos y opciones, describiremos a continuación las opciones para el comando Plot3D más comunes con sus valores por default.

Boxed->True. Si el gráfico de 3 dimensiones será encerrado en una caja. False hace lo contrario.

ColorFunction->Automatic.Que colores aplicara para el sombreado; matiz del color predeterminado o un cambio.

FaceGrids->None. Determina en la gráfica la rejilla de la caja, All dibuja una rejilla en cada cara de la gráfica.

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Show[seno, Boxed->False]

Show[seno,FaceGrids->All]

85

Recupra la Gráfica Seno modificándola por la opción Boxed->False. Borrando la caja en la cual estaba encerrada.

Recupera la gráfica Seno, y mediante FaceGrids->All. Encierra con una rejilla en todas las caras de la caja(boxe).

Lighting->True. Presenta o quita el color de la superficie de la gráfica.

Mesh->True. Cambia la apariencia de la superficie de la gráfica.

HiddenSurface->True. Presenta la gráfica quitándole el color a la superficie de la misma conservando los efectos sombra.

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Show[seno, Lighting->False]

Show[%, Mesh->False]

86

Lighting->False Quita el color de la gráfica, dejándola en matices de negro y gris conservando los efectos de sombra.True hace lo contrario.

Recupera la última salida. Y aplica la opción Mesh->False modificando la apariencia de la superficie de la gráfica.

Shading->True. Asigna los efectos de sombra y color de la superficie de la gráfica. False los quita.

Show[seno, Shading->False] Quita efectos de sombra y color de la superficie de la gráfica

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Show[seno, ViewPoint->{2, -2, 0}]

87

Show[seno, ViewPoint->{0, -2, 2}]

Gira la gráfica presentándola en una Gira la gráfica con una perspectiva vista vista casi horizontal. desde lo alto.

PlotPoint->n. Cambia el número de puntos en cada dirección que tiene especificada la función, sobre la superficie de la gráfica. Donde n toma valore numérico.

Plot3D[Sin [x + Sin[y]], {x, -3, 3}, {y, -3, 3}]

Plot3D[ Sin[x + Sin[y]], {x, -3, 3}, {y, -3, 3},PlotPoints->45]

Estos dos gráficos nos muestran como cambia la apariencia de la superficie de la gráfica al asignarle un valor de 45 a la opción PlotPoints->45, con respecto al primer gráfico que tiene un valor predeterminado por default,

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88

GRÁFICOS PARAMETRICOS. En los gráficos anteriores describimos como trazar curvas en MATHEMATICA. En la cual damos al eje y coordenada de cada punto como una función de la coordenada x. Podemos usar MATHEMATICA también para obtener gráficos parametricos, en un gráfico de este tipo damos a ambos x y y coordenadas de cada punto como una función de un tercer parámetro llamado t. Comandos principales.

ParametricPlot[{fx, fy}, {t, tmin, tmax}]. Traza un gráfico parametrico, en un plano. ParametricPlot[{{fx, fy}, {gx, gy}, {t, tmin, tmax}]. Traza varias curvas parametricas, en un plano.

ParametricPlot3D[{fx, fy, fz}, {t, tmin, tmax}]. Traza un gráfico parametrico de una curva tridimensional.

ParametricPlot3D[{fx, fy, fz}, {t, tmin, tmax}, {u, umin, umax}]. Traza un Gráfico parametrico de una superficie tridimensional.

Ejemplos: ParametricPlot[{Sin[t], Sin[2t]}, {t, 0, 2Pi}]

Gráfica de Seno t y Seno 2t tomando como intervalo de la gráfica a t con valores de [0 , 2π]

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ParametricPlot[{Sin[t], Cos[t]}, {t, 0, 2Pi}]

Show[%, AspectRatio -> Automatic]

ParametricPlot[{{Sin[t], Cos[t]}, {Sin[t], t/3}}, {t, 0, 5}]

89

Gráfica de Seno t, Cos t . Donde t toma valores de 0 a 2 π.

Recupera el gráfico anterior. AspectRatio->Automatic. Determina la escala apropiada para presentar la imagen de la gráfica.

Traza las fuciones {Sen t, Cos t} , {Sen t, t/3} a la vez en un plano en el intervalo que toma valores de t de 0 a 5

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ParametricPlot3D[{Sin[t], Cos[t], t/3}, {t, 0, 15},]

90

Traza un gráfico parametrico de una curva tridimensional.

Traza un gráfico parametrico de una ParametricPlot3D[{t, u, Sin[t u]}, {t, 0, 3}, {u, 0, 3}]

superficie tridimensional.

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ParametricPlot3D[{Sin[t], Cos[t], u}, {t, 0, 2Pi}, {u, 0, 4}]

ParametricPlot3D[{Cos[t] (3+ Cos[u]), Sin[t] (3+ Cos[u]), Sin[u]}, {t, 0, 2Pi}, {u, 0, 2Pi}]

91

Mathematica

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92

GALERIA DE GRÁFICOS Plot[Sin[Sin[x]], {x, 0, 10}, Background -> GrayLevel[0.7]]

RGBColor[1, 1, 0]]

c2=Show[Graphics3D[Dodecahedron[]], BoxStyle-> Dashing[{.02, .02}], Axes->True, AxesStyle->Thickness[.01], AxesLabel>{"EQUIX", "YGRIEGA ", "ZETA "}]

Mathematica



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93

COMANDO ESPECIAL DE SONIDO.

En algunos sistemas de computo, MATHEMATICA puede producir no solo gráficos sino también sonidos. El sistema trata los gráficos y sonidos en una forma estrechamente análoga. 

Comando: Play[f, {t, 0, tmax}]. Produce un sonido con una amplitud de f como una función de tiempo t en segundos.

El sonido producido por Play puede tener cualquier forma de onda. Esto no hace que tenga una colección consistente de piezas armónicas. En general, la función de amplitud que damos a Play especifica

la señal

instantánea asociada con el sonido. Esta señal es típicamente convertida a un voltaje y finalmente el sonido. Note que la amplitud es algunas veces definida como señal de un pico o cresta asociada con el sonido; en MATHEMATICA esto es simple una señal instantánea como una función de tiempo. Ejemplos:

In[x]:= Play[Sin[(Sin[t^4] Sin[Sqrt[t + 10] t]) t] * Sin[Sqrt[t + 6]^4] Sin[2000 t], {t, 0, 20}];

Créditos a: By Arun Chandra. Se produce los tonos de sonido y nos muestra la gráfica de la amplitud de onda.

Mathematica

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In[2]:= Play[ Sin[10000 / t], {t, -4, 4}]

Se produce los tonos de sonido y nos muestra la gráfica de la amplitud de onda.

94

Mathematica

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95

CAPITULO VI. PAQUETES ESPECIALES DE MATHEMATICA. MATHEMATICA en su estructura principal esta constituida por una serie de PACKAGES (programas) en las diferentes ramas de las matemáticas, y cada paquete a la vez esta dividido en varios temas o funciones especiales. Los cuales se encuentran en un subdirectorio llamado packages, mismos que pueden ejecutarse mediante la sintaxis: 2.05, QuartileDeviation -> 2.05}

Mathematica 100

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ANEXO 1. EJERCIOS PROPUESTOS 

EJERCICIOS DE ALGEBRA. Aplicando los diferentes comandos de Mathematica trate de resolver los ejercicios propuestos comparándolos con el resultado. Si no puede seguro estamos en un aprieto por que en México no hay rescate 911. “Persista”

 Reducción de términos. (-4 Aʷ ⁺ ¹ )- (7 Aʷ ⁺ ¹ ) R= -11 ¹ ⁺ ʷ ∎ (1/3) X Y + (1/6) X Y XY ---2 ∎ (0.85 M X Y) - (1/2) M X Y 0.35 M X Y ∎ (5/6) Aʷ ⁺ ¹ - (7/12) Aʷ ⁺ ¹ A¹ ⁺ ʷ -------4 ∎ M² + 71 M N - 14 M² - 65 M N + M³ - M² - 115 M² + 6 M³ -129 M² + 7 M³ + 6 M N ∎ 0.4 X² Y + 31 + (3/8) X Y² - 0.6 Y³ - (2/5) X² Y - 0.2 X Y² + 1/4 Y³ - 6 0.175 (142.857 + 1. X Y² - 2. Y³ ) 

Valor numérico de expresiones compuestas.

∎ M1 + 2 A1 + 3 B1 -20 C1 donde{A1 = 1, B1 = 2, C1= 3, M1 = 1/2} 103 -(------) 2

Mathematica 101

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∎(A + B + C)/(A C) donde A = 1, B = 2, C = 3, M = 1/2, N = 1/3, P = 1/4 2 ∎(3 ( 64 B^3 C^6)^(1/3))/(2 M) donde A = 1, B = 2, C = 3, M = 1/2, N = 1/3, P = 1/4 216 ∎

1/2

((3/2) (A P B³)^(1/2))/((3/2) (125 B M) 2 Sqrt[------] 5 ----------------5 = 0.126491 

Multiplicación de polinomios.

∎ (3 X² - 6 X + 7) 4 A X² 28 X² - 24 X³ + 12 X⁴ ∎ ((2/3) (x^4 y^2) - (3/5) (x^2 y^4) + (5/6) (y^6)) (-2/9) (G^2 x^3 y^2) 2 x⁴ y²

3 x² y⁴

5 y⁶

-2 G² x³ y² (----------- - ------------ + --------) 3 5 6 ---------------------------------------------------------9 G² x³ y⁴ (-20 x⁴ + 18 x ² y² - 25 y⁴ ) ---------------------------------------------------135 

Simplificar

∎ -(A2 + B2 - 2 (A2 - B2) + 3 ( - (2 A2 + B2 - 3 (A2 + B2 -1))) - 3 (- A2 + 2 (-1 + A2))) 3 + A2 - 9 B2

Mathematica 102

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∎[x-(3 a2+2(-x+1))] -2 - 3 a2 + 3 x  ∎ (20 AA²)/5 AA 4 AA ∎ (4 AA³ BB²)/ 2 AA BB 2 AA² BB ∎ (AAʷ⁺ ³ BBʷ ⁺ ²)/(AAʷ ⁺ ² BBʷ ⁺ ¹) AA BB ∎ -2 - 4 x + 2 x³ ----------------2+2x -1 - x + x² ∎ d111 = x¹² + x⁶ y⁶ - x⁸ y⁴ - x² y¹⁰ d222 = x⁸ + x⁶ y² - x⁴ y⁴ - x² y⁶ d111/d222 x⁴ - x² y² + y⁴ ∎ d4 = x³ 35 x² y 2 x y² 3 y³ ---- - ---------- + ----------- - -------3 36 3 8

División.

Mathematica 103

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d5 = 2x 3y -------- - ------3 2 d4/d5 x³ 5 x² y 2 x y² 3 y³ ------ - ----------- + ----------- - --------3 36 3 8 ---------------------------------------------2x 3y ----- - -----3 2 d4/d5 6 x² - 4 x y + 3 y² = ----------------------12 ∎ d6 = 32 - 46 a² + 11 a³ - 3 a⁵ d7 = 8 - 6 a - 3 a² d6/d7 32 - 46 a² + 11 a³ - 3 a⁵ ---------------------------------8 - 6 a - 3 a² 4 + 3 a - 2 a ² + a³ ∎ d8 = 1+x

5a

2+x

-8a

3+x

+ 19 a

4+x

- 10 a

5+x

+3a

d9 = a² - 3 a + 5 5 - 3 a + a² d8/d9 1+x

(5 a 1+x

a

2+x

-8a

3+x

+ 19 a 2

(1 - a + 3 a )

4+x

- 10 a

5+x

+

3a

2

) / (5 - 3 a + a ) =

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∎ d10 = -36 + 18 x + 24 x² + 6 x⁴ - 16 x⁵ + 8 x⁶ d11 = -6 + 3 x + 4 x³ d10/d11 -36 + 18 x + 24 x² + 6 x⁴ - 16 x⁵ + 8 x⁶ --------------------------------------------------------- = -6 + 3 x + 4 x³ 2 (1 + x) (3 - 3 x + x² ) = 6 - 4 x² + 2 x³ ∎ d12 = a⁵ - 7 a⁴ b + 21 a³ b² - 37 a² b³ + 38 a b⁴ - 24 b⁵ d13 = a² - 3 a b + 4 b² d12/d13 (-a + 3 b) (-a² + a b - 2 b² )= a³ - 4 a² b + 5 a b² - 6 b³ ∎ -6 - x + x² --------------3+x (-3 + x) (2 + x) --------------------3+x Apart% 6 -4 + x + -------3+x

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∎ -6 + 17 x - 7 x² + x³ --------------------------3 + x Apart%135 9 5 + -------- - 4 x + x² -3 + x 

Productos.

∎ (A + B)³ 3

2

2

3

A +3A B+3AB +B ∎ (2 a - b -c)(2 a - b +c) 4 a² - 4 a b + b² - c² ∎ (x^2 - 3 y)³ x⁶ - 9 x⁴ y + 27 x² y² - 27 y³ 

Factorización.

∎ 100 x⁴ y⁶ - 121 m⁴ (-11 m² + 10 x² y³ ) (11 m² + 10 x² y³ ) ∎ 2 x⁴ -32 2 (-2 + x) (2 + x) (4 + x² ) ∎ 7 x⁶ + 32 a² x⁴ - 15 a⁴ x²

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x² (5 a² + x² ) (-3 a² + 7 x² ) ∎ 36 a² b⁴ + 48 a³ b³ c + 60 a⁴ b³ m 12 a² b³ (3 b + 4 a c + 5 a² m) 

Simplificación de fracciones.

∎ (2 x y - 2x + 3 - 3y)/(18 x³ + 15 x² - 63 x) -1 + y ----------------3 x (7 + 3 x) ∎ (2 a -2 b)/(3 b - 3 a) 2 -(----) 3 ∎(x - 2 + 3)/(x - 1) 1+x --------1 + x ∎ ((a/x) - (x/a))/(1 + (a/x)) a x ---- - ---x a ----------a 1 + --x Factor%165 a-x -----a

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∎(x -2)/(x - 1/(1 - 2/(x + 2))) -2 + x -------------------1 x - ---------------2 1 - -----------2+x Factor%167 x ------1+x

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 EJERCICIOS DE GRAFICAS. graficar 225 = 9 X² + 25 Y² sugerencia despeje a Y. 1/2

y == - (9 - ((9 x²)/(25))) 9 x² 9x Sqrt[9 - -------] == -Sqrt[9 - ------] Recuerde que el símbolo == significa igual 25 25 p1 = Plot[-y, {x, -5, 5}]

-Graphicsp2 = Plot[y, {x, -5, 5}] -Graphics-

Show[p1, p2, AspectRatio->Automatic] -Graphics-

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graficar y = x² -Graphics-

graficar Y² = 16 - X² NOTA.(+Y )tome en cuenta el signo.

-Graphics-

- Y PARA OBTENER LA PARTE INFERIOR DE LA GRAFICA .

-GraphicsUtilizar Show -Graphics-

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GRAFICAR 5/x, donde X toma valores de: - 5 HASTA + 5 Sugerencia {x, -1/99999, -5} -Graphics-

seguimos sugiriendo {x, 1/99999, 5} -Graphics-

utilizar show

-Graphics-

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Utilizando los diferentes comandos de mathematica. Resolver los ejercicios de integración, comparando el resultado.

 EJERCICIOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS DIRECTAS. ∎ Procure obtener los mismos resultados que se indican ∫ x⁶ dx x⁷ -- + c 7

Recuerde que la “ c “ no la presenta el programa.

∎ ∫ √x dx 3/2

2x ------ + c 3 ∎ ∫ 4 - 3 x - 3 x² dx 3 x² 3 4 x - ------ - x + c 2 ∎ b

2a

2/3

∫ -(----) + ----------- + 3 c x dx x²

Sqrt[x] 5/3

b 9cx --- + 4 a Sqrt[x] + ---------- + c x 5 ∎ 2/3

∫(a

2/3 3

- x ) dx 4/3

9a

5/3

x

2/3

9a

7/3

x

3

x

a² x - ----------- + ------------- - ------ + c 5 7 3

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

Integrales por cambio de variable.

∎ ∫ x √[a² + b² x² ] dx a²

x²

(----- + -----) Sqrt[a² + b² x² ] + c 3b²

3

∎ x³ ∫------- dx 1+x x² x³ x - ---- + ---- - Log[1 + x] + c 2 3 ∎ -1 + 2 x ∫------------- dx 3+2x x - 2 Log[3 + 2 x] + c ∎ x/n ∫E

dx

x/n E n +c ∎ -x ∫ E dx -x -E

+ c

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∎ x ∫10 dx x 10 ----------- + c Log[10] ∎ -(x/a)

∫ (-E

x/a 2

+ E ) dx (2 x)/a

-a aE ------------- + ---------- - 2 x + c (2 x)/a



Integrales trigonométricas.

∎ ∫ Tg bx dx Log[Cos[b x]] -(---------------------) + c b ∎ ∫ Sec 3 t Tg 3 t dx Sec[3 t] ----------- + c 3 ∎ Hacer comentarios en esta integral. ∫Csc a y Ctg a y dy Integrate[Csc[a y] Ctg[a y], y]

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∎ ∫ Csc² [3 x] dx -Cot[3 x] ------------ + c 3 ∎ ∫ (-1 + Tan[2 s]) ² dx Tan[2 s] Log[Cos[2 s]] + ------------- + c 2 ∎ x ∫ Sin[---] dx n x -(n Cos[----]) + c n ∎ ∫ Cos[2 x] + Sin[3 x] dx

-2 Cos[3 x] + 3 Sin[2 x] -------------------------------- + c 6 ∎ ∫ Sin²[x] Cos[x] dx Sin³[x] ---------- + c 3 ∎ ∫ Sin³ [x] Cos[x] dx Sin⁴ [x] ---------- + c 4

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∎ Sec[Sqrt[x]] ∫---------------- dx Sqrt[x]

Sqrt[x] Sqrt[x] -2 Log[Cos[------------] - Sin[-----------]] + 2 2 Sqrt[x] Sqrt[x] 2 Log[Cos[-----------] + Sin[------------]] + c 2 2 ∎ ∫ x² Sec²[x³] dx Tan³[x ] ------------ + c 3 ∎ ∫ Tan²[x] Sec²[x] dx Tan³[x] ---------- + c 3 ∎ ∫ Tan[x] Sec³[x] dx Sec³[x] ---------- + c 3

 1 ∫ ------ dx 9 x² -4

Integrales por sustitución trigonométrica.

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Log[-2 + 3 x] Log[2 + 3 x] ----------------- - ------------------- + c 12 12 ∎ Cos x ∫ ----------------- dx (4 - Sin²[x]) -Log[-2 + Sin[x]] Log[2 + Sin[x]] ----------------------- + --------------------- + c 4 4 ∎ ∫ 1/(E^x + E^(-x)) dx -x -ArcTan[E ] + c ∎ ∫ (2x + 5)/(x² + 2x + 5) dx

2 -3 ArcTan[--------] 1+x ------------------------ + Log[5 + 2 x + x² ] + c 2

∎ 2 -(3/2) ∫ ( 2+X ) x ------------------- + c 2 Sqrt[2 + x² ]

∎ X² ∫ ------------------- dx Sqrt[-6 + X ² ]

dx

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x Sqrt[-6 + x² ] --------------------- + 3 Log[x + Sqrt[-6 + x² ]] + c 2 ∎ X² ∫----------------- dx 3/2

(8 + X² ) x x -(------------------) + ArcSinh[-----------------] + c Sqrt[8 + x² ]

2 Sqrt[2]

∎ X² ∫ --------------- dx 3/2

(9 - X² )

X Sqrt[9 - X² ] X -(--------------------) - ArcSin[----] + c -9 + X²

3

∎ 1 ∫------------------------ dx X² Sqrt[5 - X² ] -Sqrt[5 - x² ] -------------------- + c 5x  ∎ ∫ v Sin3 v² dv

Integración por partes.

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18 v² - Cos[6 v] - 6 v Sin[6 v] ---------------------------------------- + c 72 ∎ ∫ y² Sin[n y] dy 2 Cos[n y] - n² y² Cos[n y] + 2 n y Sin[n y] ----------------------------------------------------------- + c n³ ∎ ∫ ArcSin[x] dx Sqrt[1 - x² ] + x ArcSin[x] + c ∎ n ∫ x Log[x] dx x x Log[x] x (-(------------) + -------------) + c n

(1 + n) ²

1+n

∎ ∫ ArcSec[y] dy -1 + y² y ArcSec[y] - Log[y + y Sqrt[----------------]] + c y² ∎ Log[X] ∫-------- dx (1 + X)² Log[x] Log[x] - ---------- - Log[1 + x] + c 1+x

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∎ Cos[Pi t] ∫-------------- dt t

E Cos[Pi t] Pi Sin[Pi t] -(-------------) + ----------------t

t

E E -------------------------------------- + c 1 + Pi² ∎ 

Integración por fracciones parciales.

-2 + 4 X ∫------------------ dx (-2 + X) X (1 + X) Log[2 - X] + Log[X] - 2 Log[1 + X] + c ∎ -3 + 5 X² ∫------------- dx 7 + X³ 3 Log[x] + Log[1 - x² ] + c ∎ 1 + 2 X² + 4 X³ ∫----------------------- dx -X + 4 X³ Log[1 + 2 x] x + Log[1 - 2 x] - Log[x] + ---------------------- + c 2 ∎ z² ∫------------ dz (-1 + z)³

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-1 2 --------------- - ----------- + Log[1 - z] + c 2 (-1 + z)²

-1 + z

∎ 2 - X² ∫------------------------- dx 2 X + 3 X² + X³ Log[x] - Log[2 + 3 x + x²] + c ∎ ∫ √[25 - x²] dx x 25 ArcSin[---] x Sqrt[25 - x ²] 5 -------------------- + -------------------- + c 2 2 ∎ ∫ (x^2 + 5)^(1/2) dx x 5 ArcSinh[-----------] x Sqrt[5 + x² ] Sqrt[5] -------------------- + ----------------------------- + c 2 2 ∎ 1 ∫------------------------- dx X² Sqrt[-7 + X² ] Sqrt[-7 + x² ] ------------------ + c 7x ∎ X

E X ∫------------ dx 2

(1 + X)

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x

E --------- + c 1+x ∎  Integral definida. Grafique la función y obtenga su integral definida Integrate[4 X - X^2, {X, 0, 4}]

32 ---- U² 3 ∎Plot X Sqrt [1 - x²] nota Show

Integrate[4 X Sqrt[1 - X^2], {X, 0, 1}] 4 --- U² 3

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BIBLIOGRAFIA BASICA. Para la elaboración de este trabajo se consulto directamente estos libros. Stephen Wolfram Mathematica A System for Doing Mathematics by Computer. Editorial Addison-Wesley. Idioma-inglés USA Segunda edición. 1991. ISBN 0 201 51502 4; 0 201 51507 5(PBK). Stephen Wolfram, Daniel Grayson, Roman Maeder, Mathematica A System for Doing Mathematics by Computer. Editorial Addison-Wesley. Idioma-Inglés Segunda edición. 1988. USA. ISBN 0 201 19334 5; 0 201 19330 2 (PBK). Howar Anton. Algebra lineal introducción. Editorial LIMUSA. Idioma-Español. MEXICO 1996. ISBN 968 18 1660 9 Baldor Aurelio. Algebra. Editorial CCEDTA Publicaciones Culturales S. A de C. V. Décima quinta reimpresión. 1997. Idioma-Español. ISBN 968 439 211 7. Edwin J. Purcell, Dale Varvberg. Cálculo con Geometría Analítica. Editorial PRENTICE HALL HISPANOAMERICANA S.A. DE C.V. Sexta edición 1993. Idioma-Español. MEXICO ISBN 968 880 338 3

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Referencias bibliograficas: Bibliografía en inglés. Advanced engineering mathematics with Mathematica and Matlab Autor : Reza Malek-Madani Publisher : Addison-Wesley (1997) ISBN 0-201-59881-7 Advanced Tutorials for the Biomedical Sciences : Animations, Simulations, and Calculations Using Mathematica Autor : Charles Pidgeon Publisher : John Wiley & Sons (1996) Media : disc ISBN 0-471-18646-5 A Guidebook to Calculus with Mathematica Autor : Philip Crooke and John Ratcliffe Publisher : Wadsworth Publishing ISBN 0-534-15483-2 (Softcover) Animating Calculus : Mathematica Notebooks for the Laboratory Autor : Ed Packel and Stan Wagon Publisher : TELOS/Springer Verlag (1996) Media : disc ISBN 0-387-94748-5 An Introduction to Programming with Mathematica, Second Edition Autor : Richard J. Gaylord, Samuel N. Kamin, Paul R. Wellin Publisher : TELOS/Springer-Verlag Media : disc ISBN 0-387-94434-6 Applied Electronic Engineering with Mathematica Autor : Alfred Riddle and Samuel Dick Publisher : Addison Wesley (1995) Media : discs ISBN 0-201-53477-0 Applied Mathematica : Getting Started, Getting it Done Autor : William T. Shaw and Jason Tigg Publisher : Addison Wesley (1994) ISBN 0-201-54217-X A Physicist's Guide to Mathematica Autor : Patrick Tam Publisher : Academic Press Media : discs ISBN 0-12-683190-4 Atlas for Computing Mathematical Functions : An Illustrated Guide for Practitioners with Programs in C and Mathematica Autor : William J. Thompson Publisher : John Wiley & Sons (1997) Media : CD ISBN 0-471-00260-7

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A Tutorial Introduction to Mathematica Autor : Wade Ellis Jr. and Ed Lodi Publisher : Brooks/Cole ISBN 0-534-15588-X (Softcover) CalcLabs with Mathematica Autor : Nancy Blachman Publisher : Brooks/Cole (1996) ISBN 0-534-34086-5 Calculus Autor : Deborah Hughes-Hallett, Andrew Gleason Publisher : John Wiley & Sons Media : discs ISBN 0-471-31055-7 (Softcover) Calculus Explorations Using Mathematica Autor : Allen Hibbard Publisher : Saunders College Publishing (1996) ISBN 0-03-017424-4 Calculus Explorations with Mathematica Autor : Jack K. Cohen, Frank G. Hagin Publisher : Prentice Hall (1995) Media : disc ISBN 0-13-328618-5 Calculus & Mathematica Autor : Bill Davis, Horacio Porta and Jerry Uhl Publisher : Addison Wesley (1994) Media : discs ISBN 0-201-58150-7 (Windows) ISBN 0-201-58459-X (Mac & NeXT) Calculus & Mathematica Autor : John Emert and Roger Nelson Publisher : Saunders College Publishing ISBN 0-03-803784-1 (Softcover) Calculus Laboratories with Mathematica, Volume 1 Autor : Michael G. Kerckhove and Van C. Nall Publisher : McGraw-Hill ISBN 0-07-034220-2 (Softcover) Calculus Laboratories with Mathematica, Volume 2 Autor : Michael G. Kerckhove and Van C. Nall Publisher : McGraw-Hill ISBN 0-07-034252-0 (Softcover) Calculus Laboratories with Mathematica, Volume 3 Autor : Michael G. Kerckhove and Van C. Nall Publisher : McGraw-Hill ISBN 0-07-034253-9 (Softcover)

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Calculus Labs Using Mathematica Autor : Arthur G. Sparks, John W. Davenport and James P. Braselton Publisher : HarperCollins College Publisher ISBN 0-06-501196-1 (Softcover) Calculus Projects Using Mathematica Autor : A. D. Andrew and T. D. Morley Publisher : McGraw-Hill ISBN 0-07-001868-5 (Softcover) Calculus using Mathematica Autor : K. D. Stroyan Publisher : Academic Press Inc. Media : discs ISBN 0-12-672976-X (Macintosh) ISBN 0-12-672977-8 (IBM/DOS) ISBN 0-12-672978-6 (NeXT) Calculus with Analytic Geometry, Fifth Edition Autor : Howard Anton Publisher : John Wiley & Sons Media : discs ISBN 0-471-59495-4 (Hardcover) CLIFFORD ALGEBRAS WITH NUMERIC AND SYMBOLIC COMPUTATIONS Autor : Rafael Ablamowicz Publisher : Birkhäuser Verlag ISBN 0-8176-3907-1 Compinatorics and graph theory with Mathematica Autor : Steven Skiena Publisher : Addison Wesley (1990) ISBN 0-201-50943-1 Computational Economics and Finance : Modeling and Analysis with Mathematica Autor : Hal Varian Publisher : TELOS/Springer Verlag (1996) Media : disc ISBN 0-387-94518-0 Computational Recreations in Mathematica Autor : Ian Vardi Publisher : Addison Wesley (1992) ISBN 0-201-52989-0 Computer Simulations with Mathematica : Explorations in Complex Physical and Biological Systems Autor : Richard J. Gaylord and Paul R. Wellin Publisher : TELOS/Springer-Verlag Media : CD ISBN 0-387-94274-2 (Hardcover)

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CRC Standard Curves and Surfaces : A Mathematica Notebook Autor : David von Seggern Publisher : CRC Press ISBN 0-8493-0761-9 (discs)

Differential Equations : An Introduction with Mathematica Autor : Clay C. Ross Publisher : Springer Verlag ISBN 0-387-94301-3 Differential Equations with Mathematica Autor : Kevin R. Coombs,Brian R. Hunt,Ronald L. Lipsman, John E. Osborn and Garret J. Stuck Publisher : John Wiley & Sons ISBN 0-471-10874-X (Softcover) Differential Equations with Mathematica Autor : Martha L. Abell and James P. Braselton Publisher : AP Professional (1997) Media : CD ISBN 0-12-041550-X Discovering Calculus with Mathematica, Second Edition Autor : Cecilia Knoll, Michael Shaw, JErry Kohnson and Benny Evans Publisher : John Wiley & Sons Inc. ISBN 0-471-00976-8 (Softcover) Economic and Financial Modeling with Mathematica Autor : Hal R. Varian Publisher : TELOS/Springer Verlag Media : discs ISBN 0-387-97882-8 (Hardcover) Elementary Numerical Computing with Mathematica Autor : Robert D. Skeel and Jerry B. Keiper Publisher : McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-057820-6 (Hardcover) Elements of Mathematica Programming Autor : Troels Petersen Publisher : TELOS/Springer (1997) ISBN 0-387-94590-3 Engineering Mathematics with Mathematica Autor : John S. Robertson Publisher : McGraw Hill ISBN 0-07-053171-4 (Softcover) Experiments in Undergraduate Mathematics : A Mathematica-Based Approach Autor : Philipp Kent, Phil Ramsden, John Wood Publisher : Imperial College Press (1996) Media : disc ISBN 1-86094-027-7 (Hardcover) ISBN 1-86094-028-5 (Softcover)

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Exploring Calculus with Mathematica Autor : Edward Green,Benny Evans and Jerry Johnson Publisher : John Wiley & Sons ISBN 0-471-09718-7 (Softcover) Exploring Calculus with Mathematica Autor : James K. Finch and Millianne Lehmann Publisher : Addison Wesley (1992) Media : discs ISBN 0-201-55572-7 Exploring Mathematics with Mathematica Autor : Theodore W. Gray, Jerry Glynn Publisher : Addison Wesley (1991) Media : CD ISBN 0-201-52809-6 (Softcover) ISBN 0-201-52809-6 (Hardcover) Exploring Multivariable Calculus with Mathematica Autor : C. K. Cheung, G. E. Keough, Tim Murdoch Publisher : John Wiley & Sons (1996) ISBN 0-471-13754-5 Guide to Standard Mathematica Packages, Version 2.2 Publisher : Wolfram Research Inc. ISBN 1-880083-09-4 (Softcover) Illustrated Mathematics : Visualization of Mathematical Objects with Mathematica Autor : Oliver Gloor, Beatrice Amrhein and Roman Maeder Publisher : TELOS/Springer Verlag Media : CD ISBN 0-387-14222-3 Implementing Discrete Mathematics Autor : Steven Skiena Publisher : Addison Wesley ISBN 0-201-50943-1 Interactive Calculus Publisher : D. C. Heath and Company Media : CD ISBN 0-669-35712-X (Windows) Introduction to Computer Performance Analysis with Mathematica Autor : Arnold O. Allen Publisher : AP Professional Media : discs ISBN 0-12-051070-7 (Hardcover) Introduction to Ordinary Differential Equations with Mathematica : An Integrated Multimedia Approach Autor : Alfred Gray, Michael Mezzino, Mark A. Pinsky Publisher : TELOS/Springer-Verlag (1997) Media : CD ISBN 0-387-94481-8

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Introduction to Programming with Mathematica Autor : Richard J. Gaylord, Samuel N. Kamin and Paul R. Wellin Publisher : TELOS/Springer Verlag Media : discs ISBN 0-387-94048-0 (Hardcover) Laboratories for Calculus I - Using Mathematica Autor : Margret H. Höft Publisher : Addison Wesley Media : discs ISBN 0-201-54345-1 Linear Algebra : An Interactive Laboratory Approach with Mathematica Autor : John R. Wicks Publisher : Addison-Wesley (1996) Media : disc ISBN 0-201-82642-9 (Macintosh) ISBN 0-201-46091-2 (Windows) Linear Algebra with Mathematica Autor : Eugene Johnson Publisher : Brooks/Cole ISBN 0-534-13068-2 Linear Algebra with Mathematica Autor : John R. Wicks Publisher : Addison-Wesley (1996) ISBN 0-201-82642-9 Lorentzian Wormholes : From Einstein to Hawking Autor : Matt Visser Publisher : AIP Press ISBN 1-56396-394-9 Mastering Mathematica : Programming Methods and Applications Autor : John W. Gray Publisher : AP Professional (1997) Media : discs ISBN 0-12-29105-6 Mathematica 3.0 Standard Add-on Packages Publisher : Cambridge University Press ISBN 0-521-58586-4 (Hardcover) ISBN 0-521-58585-6 (Softcover) Mathematica : A practical approach (second edition) Autor : Nancy Blachmann, Colin P. Wiliams Publisher : Variable Symbols (1997) ISBN 0-13-259201-0 Mathematica as a Tool Autor : Stephan Kaufmann Publisher : Birkhäuser ISBN 0-8176-5031-8 (Softcover)

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Mathematica : A System for Doing Mathematics by Computer Autor : Stephen Wolfram Publisher : Addison Wesley ISBN 0-201-51502-4 (Hardcover) ISBN 0-201-51507-5 (Softcover) Mathematica by Example Autor : Martha L. Abell and James P. Braselton Publisher : AP Professional (1997) Media : CD ISBN 0-12-041552-6 Mathematica CD-ROM Library Autor : M. Abell, J. Brasleton, J. Gray, A. Allen Publisher : AP Professional Media : CD ISBN 0-12-059757-8 Mathematica Computer Manual Autor : E. Kreyszig and E. J. Normington Publisher : John Wiley & Sons ISBN 0-471-11719-6 Mathematica Exercices in Introductory Physics Autor : Rodney L. Varley Publisher : Prentice Hall (1996) Media : disc ISBN 0-13-231739-7 Mathematica for Mathematics Teachers : Notes from an Introductory Course Autor : Ed Packel Publisher : Front Range Press Media : disc ISBN 0-9631678-4-7 Mathematica for Physics Autor : Robert L. Zimmermann, Fredrick L. Olness Publisher : Addison Wesley (1995) ISBN 0-201-53796-6 Mathematica for Scientists and Engineers Autor : Thomas B. Bahder Publisher : Addison Wesley (1995) ISBN 0-201-54090-8 Mathematica for the Science Autor : Richard Crandall Publisher : Addison Wesley (1991) ISBN 0-201-51001-4 Mathematica Graphics Guidebook Autor : Cameron Smith with Nancy Blachmann Publisher : Addison-Wesley ISBN 0-201-53280-8

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Mathematica Graphics : Techniques and Applications Autor : Tom Wickham-Jones Publisher : TELOS/Springer Verlag Media : discs ISBN 0-387-94047-2 (Hardcover) Mathematica in Action Autor : Stan Wagon Publisher : WH Freeman & Company ISBN 0-7167-2229-1 (Hardcover) ISBN 0-7167-2202-X (Softcover) Mathematica in Education and Research (Journal) Publisher : TELOS/Springer Verlag ISSN 1065-2965 Mathematica in the Laboratory Autor : Samuel Dick, Alfred Riddle, Douglas Stein Publisher : Cambridge University Press (1997) ISBN 0-521-49906-2 Mathematica in Theoretical Physics : Selected Examples from Classical Mechanics to Fractals Autor : Gerd Baumann Publisher : TELOS/Springer-Verlag (1996) Media : disc ISBN 0-387-94424-9 Mathematica Lab Manual Autor : Peter V. O`Neil Publisher : PWS Publishing ISBN 0-534-94325-X Mathematica Laboratory Manual Autor : William H. Barker, David A. Smith, Lawrence C. Moore Publisher : D.C. Heath (1996) ISBN 0-669-32795-6 Mathematica Labs for Calculus Instruction Publisher : D. C. Heath and Company ISBN 0-669-33904-0 Mathematica Labs to Accompany Linear Algebra Autor : Terry Lawson Publisher : John Wiley & Sons (1996) ISBN 0-471-14952-7 Mathematica Manual to Accompany Advanced Engineering Mathematics Autor : Erwin Kreyszig and Edward Normington Publisher : John Wiley & Sons Inc. ISBN 0-471-11719-6 (Softcover) Mathematica Projects for Vector Calculus Autor : Michael M. Neumann, T. Len Miller Publisher : Kendall/Hunt Publishing (1996) ISBN 0-7872-2858-3

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Mathematica : Quick Reference Version 2 Autor : Nancy Blachmann Publisher : Variable Symbols Inc. (1992) ISBN 0-201-62880-5 Mathematica Reference Guide Autor : Stephen Wolfram Publisher : Addison Wesley ISBN 0-201-51012-X MathTensor : A System for Doing Tensor Analysis by Computer Autor : Leonard Parker and Steven M. Christensen Publisher : Addison Wesley ISBN 0-201-56990-6 Mathematica with Vision : Proceedings of the First International Mathematica Symposium Autor : V. Keränen, P. Mitic Publisher : Computational Mechanics Publications (1995) ISBN 1-85312-386-2 Mathematica World (Electronic Journal) Autor : Stephen M. Hunt Publisher : Ormond College,University of Melbourne,Australia Media : discs EMAIL : [email protected] Mathematics and Mathematica for Economists Autor : Cliff J. Huang, Philip S. Crook Publisher : Blackwell (1997) ISBN 1-57718-034-8 MathLink Reference Guide, Version 2.2 Publisher : Wolfram Research Inc. ISBN 1-880083-08-6 (Softcover) Modeling Nature : Cellular Automata Simulations with Mathematica Autor : Richard J. Gaylord, Kazume Nishidate Publisher : TELOS/Springer Verlag (1996) Media : disc ISBN 0-387-94620-9 Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces Autor : Alfred Gray Publisher : CRC Press ISBN 0-8493-7872-9 (Hardcover) Numerical Solutions for Partial Differential Equations : Problem Solving Using Mathematica Autor : Victor G. Ganzha, Evgenii V. Vorozhtsov Publisher : CRC Press (1996) Media : disc ISBN 0-8493-7379-4

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Partial Differential Equations and Mathematica Autor : Prem K. Kythe, Pratap Puri Publisher : CRC Press (1996) ISBN 0-8493-7853-2 Partial Differential Equations with Mathematica Autor : Dimitri Vvendensky Publisher : Addison Wesley (1993) ISBN 0-201-54409-1 Physicist´s Guide to Mathematica Autor : Patrick Tam Publisher : AP Professional (1997) ISBN 0-12-683190-4 Power Programming with Mathematica : The Kernel Autor : David B. Wagner Publisher : McGraw Hill (1996) Media : discs ISBN 0-07-912237-X Programming in Mathematica Autor : Roman Maeder Publisher : Addison Wesley (1996) ISBN 0-201-85449-X Projects in Scientific Computation Autor : Richard E. Crandall Publisher : TELOS/Springer Verlag Media : discs ISBN 0-387-97808-9 Quantum Methods with Mathematica Autor : James M. Feagin Publisher : TELOS/Springer Verlag Media : discs ISBN 0-387-97973-5 (Hardcover) Salas and Hille's Calculus, Seventh Edition Autor : Garret J. Etgen Publisher : John Wiley & Sons Media : discs ISBN 0-471-58719-2 (Hardcover) Selected Tutorial Notes Publisher : Wolfram Research Inc. ISBN 1-880083-07-8 (Softcover) Self-Tutor for Computer Calculus Using Mathematica Autor : D. C. M. Burbulla and C. T. J. Dodson Publisher : Prentice Hall ISBN 0-13-803784-1 (Softcover)

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Simulating Neural Networks with Mathematica Autor : James A. Freeman Publisher : Addison Wesley ISBN 0-201-56629-X The Beginner's Guide to Mathematica Version 2 Autor : Theodore W. Gray and Jerry Glynn Publisher : Addison Wesley ISBN 0-201-58221-X The Beginner's Guide to Mathematica Version 3 Autor : Theodore W. Gray and Jerry Glynn Publisher : Addison Wesley (1997) ISBN 0-521-62202-6 (hardcover) ISBN 0-521-62734-6 (softcover) The Ins and Outs of Mathematica Autor : Paul Abbot Publisher : TELOS/Springer Verlag (1997) ISBN 0-387-94645-4 The Joy of Mathematica : A Point-and-Click Way to Use and Learn Mathematica Autor : Alan Shuchat and Fred Shultz Publisher : Addison Wesley (1994) Media : discs ISBN 0-201-59145-6 The Mathematica Book, Third Edition Autor : Stephen Wolfram Publisher : Cambridge University Press ISBN 0-521-58889-8 (Hardcover) ISBN 0-521-58888-X (Softcover) The Mathematica 3.0 Book Autor : Stephen Wolfram Publisher : Wolfram Media ISBN 0-9650532-0-2 (Softcover) ISBN 0-9650532-1-0 (Hardcover) The Mathematica Graphics Guidebook Autor : Cameron Smith and Nancy Blachmann Publisher : Addison Wesley (1995) Media : discs ISBN 0-201-53280-8 The Mathematica Guidebook Autor : Michael Trott Publisher : TELOS/Springer-Verlag Media : CD ISBN 0-387-94282-3 The Mathematica Handbook Autor : Martha L. Abell and James P. Braselton Publisher : AP Professional ISBN 0-12-041536-4 (Softcover)

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The Mathematica Journal (Journal) Publisher : Miller Freeman Inc. Media : discs ISSN 1047-5974 The Mathematica Programmer Volume I Autor : Roman Maeder Publisher : AP Professional Media : disc ISBN 0-12-464990-4 The Mathematica Programmer Volume II Autor : Roman Maeder Publisher : Academic Press (1996) Media : CD ISBN 0-12-464992-0 The Power of Visualization : Notes from a Mathematica Course Autor : Stan Wagon Publisher : Front Range Press ISBN 0-9631678-3-9 Tutorials for the Biomedical Sciences : Animations, Simulations and Calculations Using Mathematica Autor : Charles Pidgeon Publisher : John Wiley & Sons (1996) Media : disc ISBN 0-471-18637-6 VisualDSolve : New Frontiers in the Visualization of Differential Equations Autor : Dan Schwalbe, Stan Wagon Publisher : TELOS/Springer Verlag (1996) Media : disc ISBN 0-387-94721-3 Visualization of Natural Phenomena Autor : Robert S. Wolff and Larry Yaeger Publisher : TELOS/Springer Verlag Media : CD ISBN 0-387-97809-7 (Hardcover) Finish Mathematica for Windows Versio 2.2 Autor : Antti Majamemi, Tapani Ojanperä Publisher : Kymdata (1994) ISBN 951-559-137-6

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Bibliografía en español. Algebra Abstracta : Planteamiento y resolucion de problemas con Mathematica Autor : F. J. Plaza, J. A. Dominguez, A. Fernandez, M. A. Asensio Publisher : Plaza Universitaria Ediciones (1996) ISBN 84-89109-09-5 Algebra Lineal : Planteamiento y resolucion de problemas con Mathematica Autor : J. A. Dominguez, A. Fernandez, F. J. Plaza, M. A. Asensio Publisher : Plaza Universitaria Ediciones (1995) ISBN 84-89109-06-0 Cálculo simbólico y numérico con Mathematica Autor : César Pérez Publisher : RA-MA Editorial (1995) ISBN 84-7897-181-5 Geometria differencial de curvas y superfices Autor : Luis A. Cordero,Marisa Fernandez and Alfred Gray Publisher : Addison Wesley Ibero Americana (1995) ISBN 0-201-65364-8 Laboratori de Geometria Computacional Autor : J. Trias Publisher : Editions Universitat Politecnica de Catalunya (1996) ISBN 970-625-114-6 Mathematica Autor : E. Castillo, A. Iglesias, J. M. Gutierrez, E. Alvarez and A. Cobo Publisher : Editorial Paraninfo (1993) ISBN 84-283-2017-9 Mathematica : fundamentos y aplicaciones de la informatica en matematicas Autor : J. A. Dominquez,A. Fernandez,F. J. Plaza and M. A. Asensio Publisher : Plaza Universitaria Ediciones (1994) ISBN 84-89109-04-4 Mathematica : Un enfoque practico Autor : Nancy Blachmann Publisher : Editorial Ariel (1993) ISBN 84-344-0478-8 Probabilidad y Estadística : Un enfoque intuitivo con apoyo en Mathematica Autor : T. Garza Publisher : Grupo Editorial Iberoamérica (1996) ISBN 970-625-114-6

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Wolfram Después de dos años en la Facultad de Caltech, se traslada al Instituto de estudios

Avanzados en Princeton en el año de 1980, mudándose después a la Universidad de Illinois. Desempeñándose como Director del Centro de Investigación de Estudios Complejos y profesor de Física, Matemáticas y Ciencias Computacionales. Wolfram trabajó como investigador en muchas áreas de la Física, Matemáticas y ciencias Computacionales Siendo sus primeros trabajos (1976-1980) sobre alta energía física, Teoría Cuántica y Cosmología. En recientes años Wolfram fue líder en la investigación y desarrollo de nuevos campos de sistemas complejos. Como investigador de estos sistemas se enfocó en el estudio de sistemas que sus componentes fueran más simples. Empezando Wolfram en 1982 como pionero en la aplicación de la computación en el conocimiento de la Física y Matemática, modelos Biológicos así como en trabajos sobre el Caos y la Aleatoriedad. En 1984 Wolfram inventó un rápido lenguaje de sistemas basado en células autónomas y en 1985 co-inventor de un nuevo uso de la computación en Fluidos Dinámicos. En 1986 funda el Journal Complex Systems. Muchos de los trabajos de Wolfram se relacionan con el desarrollo de técnicas computacionales nuevas siendo en 1981 cuando desarrolló el SMP sistema computacional de álgebra. Mas recientemente trabajó en el desarrollo de algoritmos de alto nivel, Wolfram a sido consultor para empresas como: Los Alamos National Lab., Bell labs y Thinking Machines Corp. Recibió el reconocimiento MacArthur Prize Fellowship en 1981. Colaboradores principales de esta obra: Matthew Cook. Sonido y varios funciones del sistema. Arcady Borkovsky. Funcionamiento y manipulación de textos. Igor Riving. Gráficos en tercera dimensión, lenguaje de ecuaciones diferenciales. Kelly Roach. Lenguaje de integración y simplificación trigonométrica. Bruce K. Smith. Características del lenguaje así como pruebas. Hon Wah Tam. Ecuaciones diferenciales numéricas. Tom Wickham-Jones. Gráficas. Davis Witthof. Mensajes del sistema, funciones estadísticas. Wolfram Stephen. Diseño total del sistema e implementación de varias características. Daniel R. Grayson.

Profesor de Matemáticas en la Universidad de Illinois, trabajó en la

Universidad de Columbia. Escribió gran parte de MATHEMATICA. Precisión aritmética.

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Resolución de ecuaciones. Manejo de matrices. Series de potencias. Funciones elípticas. Escribió el Precompilador para la extensión del lenguaje de programación C usado en el desarrollo de MATHEMATICA. Rornam E. Maeder. Es el responsable de Integración simbólica, factorización de polinomios y otras operaciones polinomiales. Maeder recibió su grado de Doctor en ETH en Zurich en 1986. Siendo su tesis en teoría matemática en lenguajes de programación. Maeder trabajó: Computación del álgebra y sus aplicaciones en la educación. Organizó laboratorios de MATHEMATICA. Henry Cejtin. Escribió la versión final de muchas de las principales rutinas de MATHEMATICA y ayudó en la racionalización de varios aspectos en el desarrollo de software. Obtuvo su grado de Doctor en Matemáticas en Northwestern University en 1985. Participó en los principales proyectos de desarrollo de software. Responsable de la operación y desarrollo de UNIX-like en la Mark Williams Company. Theodore Gray. Adaptó MATHEMATICA para Macintosh y otras computadoras. Gray se graduó en Teoría Química en Berkeley en 1985. Es autor de Macintosh Systems para la enseñanza de álgebra lineal. Stheper M. Omohundro. Escribió gráficos tridimensionales para MATHEMATICA Omohundro recibió su grado de doctor en Físico Matemático en Berkeley en 1985. Trabajó en: Algoritmos de alto nivel. Co-diseñador de la extensión de LISP usado en la conexión de la maquina computadora. Es profesor en la Universidad de Illinois en Ciencias de la Computación. Enseñanza de geometría. Gráficos y Robótica. David Ballman. Es responsable de muchos aspectos del sistema de interface externa para MATHEMATICA participó en el desarrollo de: Proyectos de desarrollo de hardware y software. Primero en Minesota y posteriormente en Illinois. Jerry Keiper. Trabajó en la evaluación especial de funciones : Gama, Zeta, BesselJ etc. Integral definida. Series. Raíces de ecuaciones. Obtuvo el grado de Maestro en matemáticas en la investigación de función Zeta de Riemann. Construyó tubos orgánicos. En las actualizaciones y nuevas versiones siguen incorporándose personal.