Elettrostatica - Versione stampabile

indice Il termine

E di una superficie piana uniformemente carica

L’elettrizzazione. Isolanti e conduttori

E di due superfici piane uniformemente cariche

Elettroscopio. Segno delle cariche

E di una sfera uniformemente carica

Elettrizzazione per strofinio

Lavoro della forza elettrostatica

Elettrizzazione per contatto

Lavoro di E costante e uniforme

Elettrizzazione per induzione Elettroforo di Volta Pozzo Beccaria-Faraday Il coulomb

Lavoro di E costante e radiale Conservatività di E. Energia potenziale U

Elettrostatica

U di E costante e uniforme Conservazione della carica elettrica U di E costante e radiale Legge di Coulomb Potenziale elettrico V Campo Elettrico E Superfici equipotenziali Linee di campo Linee di forza e superfici equipotenziali Polarizzazione dei dielettrici Visualizzazione linee di forza Legge di Coulomb in un dielettrico Flusso di un campo vettoriale Flusso di E. Teorema di Gauss

Circuitazione di un campo vettoriale Circuitazione di E Equazioni di Maxwell per il campo elettrostatico

di Antonio Covello

Il termine Si spiegano così lo scorrere delle acque, la caduta dei fulmini, e la meravigliosa forza d'attrazione dell’ambra e della calamita: in nessuno di tutti questi oggetti vi è la forza attraente, ma poiché il vuoto non c’è, questi corpi si respingono in giro l'uno con l'altro, e separandosi e congiungendosi, cambiano di posto, e vanno ciascuno nella propria sede. Dall’intrecciarsi di queste influenze reciproche si sono operati tutti quei prodigi, come sembrerà a chi sappia indagare bene. Platone: Timeo XXXVII c

AMBRA = ÉLEKTRON

1-2

Il termine

L’ambra è una resina fossile (prodotta in diverse epoche geologiche da 130 a 8 milioni di anni fa da vari tipi di piante: pini, larici, abeti, sequoie)

STROFINANDOLA acquista la proprietà di ATTRARRE piccoli corpi molto leggeri

2-2

L’elettrizzazione. Isolanti e conduttori Ogni atomo è formato da un

NUCLEO dotato di carica positiva, e dagli

ELETTRONI

-

carichi negativamente, che gli “ruotano” attorno

-

-

3-7

L’elettrizzazione. Isolanti e conduttori Normalmente in un atomo la carica

positiva del nucleo e quella negativa degli elettroni risultano esattamente uguali e contrarie. Ovvero: l’atomo tende ad essere elettricamente neutro

4-7

L’elettrizzazione. Isolanti e conduttori Se un atomo acquista elettroni diventa

carico negativamente -

-

-

-

5-7

L’elettrizzazione. Isolanti e conduttori Se un atomo perde elettroni diventa

6-7

carico positivamente -

-

L’elettrizzazione. Isolanti e conduttori i corpi si distinguono in ISOLANTI Tutte le cariche in posizioni “fisse” gomma, plexigas, legno, vetro, porcellana, ecc.

CONDUTTORI Sono presenti cariche libere di muoversi lungo tutto il corpo argento, rame, oro, alluminio, ferro, il nostro corpo, ecc.

7-7

1-7

Come si può scoprire se un corpo è elettrizzato?

Come si può scoprire se un corpo è elettrizzato?

Per sapere se un corpo è elettrizzato si ricorre allo

ELETTROSCOPIO Strumento messo a punto da Volta nella seconda metà del ‘700

Elettroscopi utilizzati da Volta

Elettroscopio a pendolino (introdotto da Faraday)

2-7

1-5

Come possiamo elettrizzare i corpi? Per stofinio Per contatto Per induzione

in particolare gli isolanti i conduttori

3-5

SERIE TRIBOELETTRICA

Perché i corpi si elettrizzano? Dipende dal tipo di materiali a contatto? Dipende dall’intensità dello strofinio?

cuoio amianto vetro capelli umani nylon lana pelliccia piombo seta alluminio carta cotone legno acciaio ambra gomma nickel, rame ottone, argento oro, platino poliestere stirene poliuretano polietilene (scotch) PVC teflon

Massima carica positiva

Sfregando fra loro due materiali: il più alto nella lista si carica positivamente, il più basso negativamente.

Massima carica negativa

2-8

+ --

+

+

Induzione elettrostatica: ridistribuzione della carica, in un conduttore neutro, causata dalla presenza di un corpo carico. Il conduttore rimane neutro

Il coulomb Nel sistema internazionale l’unità di misura della carica elettrica è il coulomb: C. La carica più piccola osservata è la carica dell’elettrone la quale costituisce, quindi, la carica elementare: e = 1,6022•10-19 C.

1-1

La cariche elettriche si conservano Importante principio dovuto a Franklin

In un sistema isolato la somma algebrica delle cariche elettriche rimane costante nel tempo

1-1

Coulomb e la bilancia a torsione

Charles-Augustin de Coulomb  (1736 - 1806)

1-5

Legge di Coulomb Si osserva che l’interazione tra due cariche elettriche avviene lungo la retta che congiunge le due cariche puntiformi.

Inoltre: cariche di stesso segno si respingono: forza repulsiva (verso l’esterno), cariche di segno opposto si attraggono: forza attrattiva (verso l’interno).

2-5

Legge di Coulomb

3-5

Nel vuoto, la forza elettrica tra due cariche puntiformi è: direttamente proporzionale al prodotto delle cariche (ovvero a ciascuna carica) + 2+

F

F 2F 3F

+ 0.5+ 2+

2F 3F

F/2 4F

3-

F/2 4F

-

2-

Legge di Coulomb

3-5

Nel vuoto, la forza elettrica tra due cariche puntiformi è: direttamente proporzionale al prodotto delle cariche (ovvero a ciascuna carica) e inversamente proporzionale al quadrato della distanza fra le cariche F

+ +

F/4

F

-

R

F/4

-

2R +

F/9

F/9 3R

-

Legge di Coulomb Principio di sovrapposizione L’effetto totale di una forza elettrica, generata da un sistema di cariche e agente su una carica elettrica q, è pari alla somma vettoriale delle singole forze che agirebbero su q se ogni singola carica agisse da sola.

+q

+ 2+

4-5

Legge di Coulomb Come si unifica tutto ciò?

1 k0 = 4!ε 0 Q1

2 C ε 0 = 8,854 ⋅10-12 N ⋅ m2

R21

  1 Q1Q 2 R 21 F = 2 4!ε 0 r R 21

Q2

5-5

1-1

Il campo elettrico   F E = q

È il rapporto tra la forza che si sviluppa tra la carica generatrice e una carica esploratrice (piccola e positiva) posta nel punto P e il valore di quest’ultima carica.

F 1 Q E = = 2 q 4!ε 0 R

Le linee del campo elettrico

 Il vettore E è tangente alle linee di forza in ogni loro punto.  Sono orientate come E .

Sono prese uscenti dalle cariche positive ed entranti in quelle negative (è una scelta convenzionale). Ad almeno uno dei due estremi c’è sempre una carica, possono essere di lunghezza infinita (finita solo se sono fra due cariche). Non si possono intersecare. L’intensità del campo elettrico è direttamente proporzionale al numero di linee che attraversano una superficie unitaria. (Criterio di Faraday)

Più intenso

Meno intenso

1-6

2-6

Rappresentazione schematica della dipendenza dal quadrato della distanza

R

2R

r

Ad es., ad una distanza R, 4 linee di forza attraversano una superficie di area S, a 2R ne passa una per una superficie di estensione pari ad S, 4 attraverso una superficie 4 volte più estesa di S. (La superficie a distanza R è parallela a quelle posta a distanza 2R).

Polarizzazione dei dielettrici

1-1

E=O

E≠O E=O Polarizzazione: ridistribuzione della carica, in un isolante neutro, causata dalla presenza di un corpo carico.

Il dielettrico rimane neutro

La legge di Coulomb in un dielettrico ;

2 1 C -12 ; ε 0 = 8,854 ⋅10 k0 = 2 N ⋅ m 4!ε 0

Nella materia isolante si deve tener conto della polarizzazione del dielettrico il quale, fungendo da schermo, affievolisce l’effetto dell’interazione elettrica fra le cariche Q1 e Q2, pertanto va introdotta la costante dielettrica assoluta: ε = ε0 εr ; εr è detta costante dielettrica relativa ed è un numero puro maggiore di 1. Q1

R21

  1 Q1Q 2 R 21 F = 2 4!ε 0 R R 21

Q2

1-1

Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie S

v

α

S = S ^n

La superficie in grigio è pari a Scosα ed è la superficie che “va considerata” ai fini del flusso.

ФS( v ) = v· S = v· S ^n = vScosα ^ è un vettore di modulo 1 detto versore: dà solo direzione e verso. n: N. B.: il flusso è una grandezza fisica scalare.

1-2

Flusso del campo elettrostatico:  Φs E

()

  = E ⋅S

Legge di Gauss o prima equazione di Maxwell (nel vuoto ε0 , in un altro dielettrico ε=ε0εr )

 Φs E

()

Σq = ε0

Il flusso del campo elettrico uscente da una superficie chiusa S è pari alla somma algebrica (il simbolo Σ indica la somma) delle cariche contenute all’interno della superficie stessa diviso la costante dielettrica. La formula di Gauss è applicabile a qualsiasi campo vettoriale. Applicata al campo elettrico costituisce la prima equazione di Maxwell. Quando si dice superficie chiusa si deve intendere una superficie tridimensionale che divide lo spazio fra un dentro ed un fuori. Una superficie bidimensionale lo spazio lo divide, ad es., fra destra e sinistra.

Questa equazione reca in sé sia il principio di conservazione della carica sia la condizione secondo cui le linee di forza debbono iniziare e terminare su cariche elettriche.

1-3

Il flusso del campo elettrico non dipende dalla superficie dentro cui è posizionata la carica.

R

 Φs E

()

q = ε0

2-3

3-3

Se la carica è esterna ad una superficie, il flusso del campo elettrico uscente da essa è nullo: tante linee di forza entrano nella superficie, tante ne escono.

 Φs E

()

= 0

σ E= 2ε

++++++++++++++++

Campo elettrico di una superficie piana uniformemente carica

σ E= 2ε

Q è la densità superficiale di carica σ= ΔS

1-2

Campo elettrico di una superficie piana uniformemente carica

- - - - - - - - - - - - - - - -

σ E= 2ε

σ E= 2ε

2-2

E=O

σ E= 2ε

σ E= ε

σ E= 2ε

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Si annullano perché le linee di forza sono uguali ed opposte

++++++++++++++++ ++++++++++++++++

Campo elettrico generato da due superficie piane uniformemente cariche e parallele

Il campo è uniforme e costante

Si annullano perché le linee di forza sono uguali ed opposte

E=O

1-1

Campo elettrico generato da una sfera uniformemente carica

L’unica variabile è la distanza dal centro della sfera: r

R

1 Qtot E= ⋅ r 3 4πε R

All’esterno della sfera: r > R

1 Q tot E= 2 4!ε r

E

Dentro la sfera: r ≤ R

R

r

1-1

1-2

Lavoro della forza elettrostatica Il lavoro di una forza è definito:

  W(da A a B) = F ⋅ ΔS = F ΔS cosα

Per il campo di forze elettrostatico: q è una carica di prova che, salvo diversa indicazione, considereremo qui, e nel seguito, sempre positiva.

B

E

α

q

A

Se il percorso da A a B fosse curvilineo, lo si potrebbe pensare suddiviso in tanti segmenti e poi sommare tutti i prodotti scalari fra i vari segmenti e il valore di E in quel   tratto:

W(da A a B) = ∑ qE i ⋅ ΔSi = ∑ qE i ΔSi cosα i ΔSi

A

αi

B

E

Lavoro della forza elettrostatica Il percorso lungo cui si calcola il lavoro può anche essere chiuso. Chiamiamo Γ la curva, scegliamo un verso di percorrenza e la consi-deriamo composta da tanti segmenti. Il lavoro del campo elettrico sarà dato dalla somma dei lavori da esso compiuti lungo i vari tratti con i quali il percorso è stato suddiviso: ΔSj

Γ ΔSi

E

   Il lavoro di E è: WΓ ( E ) = ∑ qE i ⋅ ΔSi = ∑ qE i ΔSi cosα i Nel caso del percorso rappresentato, il lavoro ha sempre lo stesso segno? Vi sono dei tratti in cui è positivo o negativo o nullo?

2-2

Lavoro di un campo elettrostatico costante e uniforme Calcoliamo il lavoro di E per un campo costante ed uniforme lungo il percorso CHIUSO - Γ - rappresentato

B

E

α

A

α è l’angolo formato fra il vettore spostamento e il vettore E.

Γ WBC = qE BC cos90° = 0 C

WBC = qE CA cos180° = – qEAC

WΓ( E ) = WAB + WBC + WCA = 0 Costante: non varia nel tempo (caratteristica temporale) le frecce rosse non cambiano nel tempo. Uniforme: non dipende dalla posizione (caratteristica spaziale) le frecce rosse non dipendono dalla posizione.

1-3

Lavoro di un campo elettrostatico uniforme Dovrebbe essere chiaro che il perimetro (il percorso) di una figura piana (anche curva) possa essere considerato costituito da almeno un lato di un numero opportuno di triangoli dalle opportune dimensioni.

Γ Γ Γ α

2-3

Lavoro di un campo elettrostatico uniforme Allora, per ogni percorso chiuso:

WΓ ( E ) = 0

Γ

Γ

α

Γ

3-3

1-3

Energia potenziale del campo elettrostatico Il valore nullo del lavoro, lungo ogni percorso chiuso, si potrebbe generalizzare per ogni genere di campo elettrostatico. Dire che il lavoro del campo elettrostatico, nello spostamento di una carica di prova lungo un qualunque percorso chiuso, è nullo è analogo a dire che il lavoro compiuto dal campo elettrostatico per spostare una carica di prova da un punto A ad un altro B non dipende dal percorso per andare da A a B, ma solo dalle posizioni A e B. Infatti:

WΓ = 0 B

α

Γ A Sono analoghe

β

WΓ = Wα (da A a B) + Wβ (da B ad A) = 0 Wα (da A a B) = – Wβ (da B ad A) Wα (da A a B) = + Wβ (da A a B)

Cambia il segno, ma anche il senso di percorrenza.

Energia potenziale del campo elettrostatico Il valore nullo del lavoro, lungo ogni percorso chiuso, si potrebbe generalizzare per ogni genere di campo elettrostatico. Dire che il lavoro del campo elettrostatico, nello spostamento di una carica di prova lungo un qualunque percorso chiuso, è nullo è analogo a dire che il lavoro compiuto dal campo elettrostatico per spostare una carica di prova da un punto A ad un altro B non dipende dal percorso per andare da A a B, ma solo dalle posizioni A e B. Se il lavoro dipendesse dalla traiettoria, potremmo scegliere il percorso in cui il lavoro è minimo per andare da A a B e ritornare da B ad A percorrendo la traiettoria in cui il lavoro è massimo. Siccome il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica lungo il percorso da B ad A si trasforma in energia cinetica della q, vi sarebbe un guadagno di energia nel viaggio di ritorno rispetto a quello di andata: si potrebbe così ottenere una sorgente perpetua di energia!

Il verificarsi di siffatta proprietà indica che il campo è conservativo. Ciò comporta la possibilità di definire una funzione, detta energia potenziale, la quale è una funzione scalare dello spazio (dipende solamente dalla posizione) e rappresenta la capacità di compiere lavoro legata alla posizione che la carica di prova occupa all’interno del campo elettrostatico. 

2-3

3-3

Energia potenziale del campo elettrostatico Quanto detto vuol dire che il lavoro compiuto da E, per spostare una carica q da A a B, è pari a: A

α

B

W(da A a B) = U A − U B = − ( U B − U A ) = −ΔU

U è chiamata energia potenziale della carica q. L’unità di misura di U è il joule, J. Convenzionalmente si può attribuire a UB il valore zero. In tal modo, l’energia potenziale di q nel punto A ( UA ) rappresenterebbe il lavoro compiuto dalla forza del campo per portare la carica q da A al punto B scelto come livello di riferimento dell’energia potenziale. L’espressione analitica di U, ovviamente, dipende dal particolare campo elettrico considerato.

È bene ribadire: l’energia potenziale è un’energia associata ad una carica di prova q immersa in un campo elettrico.

1-2

U(x) = qExq in cui xq è la distanza di q dal piano negativo.

y

q xq

++++++++++++++++

Prendendo come riferimento zero l’energia di una q posta sulla lastra negativa, si potrebbe dimostrare che per un campo uniforme e costante l’espressione analitica di U è:

----------------

Energia potenziale di un campo elettrostatico costante e uniforme

x

Supponendo che i piani siano a distanza d, quanto vale l’energia potenziale di q quando si trova sulla piastra positiva? Dovrebbe essere evidente che: U = qEd. È chiaro che q (positiva) si muoverà spontaneamente dal piano positivo verso quello negativo. Ciò indica che l’energia potenziale tende a diminuire. È proprio questa naturale tendenza a far sì che il campo possa compiere un lavoro.

Energia potenziale di un campo elettrostatico costante e uniforme Abbiamo appena detto che spontaneamente una q positiva andrebbe verso la lastra negativa: UA > UB , per cui il lavoro compiuto dal campo elettrico sarebbe positivo: l’energia potenziale tende a diminuire. “ spontaneità = U diminuisce ”

----------------

Al contrario, siccome una carica q positiva non va spontaneamente verso la lastra positiva, per portarcela occorre vincere una resistenza: compiere un lavoro. Questo lavoro viene accumulato sotto forma di energia potenziale. Energia potenziale che sarà restituita come lavoro (o meglio, come energia cinetica) quando la carica sarà lasciata in “balìa” del solo campo.

++++++++++++++++

----------------

++++++++++++++++

2-2

Per una q negativa avverrebbe il contrario: si dovrebbe compiere un lavoro dall’esterno per portarla dalla piastra positiva alla negativa facendone aumentare la sua energia potenziale e questa energia sarebbe restituita qualora la carica fosse lasciata libera di tornare sulla piastra positiva.

Energia potenziale di un campo elettrostatico radiale Si potrebbe dimostrare che per un campo radiale:

Q +

q

1 Qq U= + costante 4!ε r Essa significa che facendo crescere sempre più r (la q positiva che si allontana sempre di più da Q) U diventa pari alla costante (siccome il termine con r al denominatore diventa sempre più piccolo). Possiamo quindi dare alla costante valore zero prendendo come livello di riferimento l’energia potenziale (nulla) all’infinito.

In tutti i calcoli di trasferimento di energia sono presenti solo variazioni di energia potenziale. È comunque utile poter parlare di energia potenziale di una q in un punto P a distanza r da una Q, ovvero: si vuole dare una definizione “assoluta” di energia potenziale, per tale ragione si sceglie un riferimento arbitrario (il livello zero) rispetto al quale misurare l’energia potenziale.

Quindi:

1 Qq U= 4!ε r

L’energia potenziale di una q in un punto a distanza r dalla Q è pari al lavoro compiuto dal campo quando porta q da quel punto all’infinito. Analogamente: l’energia potenziale di una q in un punto a distanza r dalla Q è pari al lavoro che bisogna spendere per spostare q dall’infinito in quel punto.

1-3

2-3

Energia potenziale di un campo elettrostatico radiale Per capire l’energia potenziale è bene tracciarne il grafico su un piano cartesiano di ascissa r e ordinata U. Supponiamo Q e q entrambe positive: campo elettrico repulsivo. Spontaneamente q tende ad allontanarsi da Q: U diminuisce al crescere di r.

U

1 Qq U= 4!ε r +

U

r

–

U=

1 Qq 4!ε r

r

Se Q è negativa e q positiva, campo elettrico attrattivo, q tende ad avvicinarsi a Q spontaneamente: U diminuisce al diminuire di r. Dovrebbe essere chiaro perché la curva è sotto l’asse delle ascisse: siccome Q è negativa e q positiva, il loro prodotto è negativo pertanto U sarà negativa.

Ovviamente, se Q e q sono entrambe negative si ripropone il primo caso. Quando sono di segno opposto il secondo.

Il potenziale elettrico L’energia potenziale è una grandezza fisica che collega dal punto di vista energetico il campo elettrico generato da una certa distribuzione di cariche con una carica di prova q. Quel che si vuole ora è una grandezza che caratterizzi il campo indipendentemente da q (come fu fatto con la forza di Coulomb e il campo elettrostatico cfr diap. 41). Viene definito potenziale elettrico o tensione (per la ragione di questo termine v. diap. 101) il rapporto:

Ad es., considerando il campo generato da una carica puntiforme Q, facilmente si vede che V non dipende da q:

1 Qq U 4!ε r 1 Q V= = = q q 4!ε r

1-3

Il potenziale elettrico L’energia potenziale è una grandezza fisica che collega dal punto di vista energetico il campo elettrico generato da una certa distribuzione di cariche con una carica di prova q. Quel che si vuole ora è una grandezza che caratterizzi il campo indipendentemente da q (come fu fatto con la forza di Coulomb e il campo elettrostatico cfr diap. 41). Viene definito potenziale elettrico o tensione (per la ragione di questo termine v. diap. 101) il rapporto: Da questa definizione è chiaro che pure per V valgono le stesse considerazioni fatte su U riguardo alla scelta del livello zero rispetto al quale misurare V. E dato che nei calcoli sono presenti solo variazioni di potenziale, si usa parlare di differenza di potenziale, simbolo: ddp.

Questa nuova funzione sarà legata al lavoro dalla seguente relazione: ovvero: La sua unità di misura è il volt: V

Tra due punti A e B di un campo elettrico esiste una differenza di potenziale di un volt (ddp=1V) se la forza elettrica del campo compie un lavoro di 1J per portare una carica di 1C da A a B. Dire che in un punto A c’è un potenziale di 1V significa che per portare una carica di 1C dall’infinito fino a quel punto è stato compiuto un lavoro di 1J (scelta del livello zero del potenziale a distanza infinita).

2-3

Potenziale di un campo elettrostatico radiale

1 Q V= 4!ε r

V VA ddp

VB +

A

B

r

In un moto spontaneo di una q positiva la variazione di potenziale sarebbe negativa: VA> VB, VB – VA < 0. Le q positive si muovono da punti a potenziale maggiore verso punti a potenziale minore. Per una q negativa vale l’opposto.

3-3

Superfici equipotenziali Prendiamo come esempio una carica puntiforme Q, il suo potenziale sarà:

1 Q V= 4!ε r Si vede facilmente che tutti i punti alla stessa distanza dalla carica hanno lo stesso potenziale. Questi punti rispettano una particolare simmetria e, nel nostro caso di campo radiale, sono tutte delle sfere centrate su Q.

Superfici equipotenziali: luogo dei punti dello spazio in cui il potenziale è lo stesso.

1-4

Linee di forza e superfici equipotenziali Dalle figure precedenti si nota che le linee di forza e le superfici equipotenziali sono perpendicolari. Questa è un’importante proprietà rispettata in generale e non solo nei i casi rappresentati.

4-4

2-2

W = −ΔU

U Energia potenziale

ΔU ΔV = q

V potenziale

ΔV E=− Δs

Si misura in joule, J.

Si misura in volt:

.

E campo elettrico Si misura anche in volt al metro.

Circuitazione di un campo vettoriale

1-4

La circuitazione di un campo vettoriale è definita dal prodotto scalare:

  C Γ ( v ) = ∑ v i ⋅ Δγ i = ∑ v i Δγ icosα i In cui Γ è un percorso chiuso e γi è uno dei generici tratti rettilinei mediante i quali si può pensare composto il percorso per poter calcolare il prodotto scalare.

Circuitazione di un campo vettoriale Per cogliere il significato fisico della circuitazione, applichiamone la definizione matematica ad un tubo di flusso in condizioni di stazionarietà (flusso laminare) di un fluido. Consideriamo un percorso ABCD rettangolare, ma teniamo presente che il risultato si può generalizzare per ogni tipo di percorso chiuso.

D

C Γ

v A

B

Gli angoli che il vettore velocità v forma con i quattro tratti con cui suddividiamo il percorso sono: 0° con AB, 90° con BC, 180° con CD, 270° con DA. Ricordando i valori del coseno per questi angoli si ottiene, per la somma di tutti i prodotti scalari, un valore nullo:    C Γ (v) = ∑ v i ⋅ Δγ i = vABcos0 + vBCcos90° + vCDcos180° + vDAcos270° = vAB − vCD = 0

Ovvero:

CΓ( v ) = 0

2-4

3-4

Circuitazione di un campo vettoriale E se applichiamo la formula della circuitazione ad un fluido che presenta un moto vorticoso?

Γ

v del fluido Elemento di Γ Non diamo importanza al fatto che nella realtà la velocità dei venti di un ciclone non sia costante in tutti i punti del percorso circolare, il nostro è solo un esempio. L’elemento importante è il valore della circuitazione che si ottiene in condizioni vorticose o, in generale, non stazionarie.

Gli angoli che il vettore velocità v forma con gli elementi rettilinei in cui il percorso viene suddiviso sono sempre di 0°, pertanto gli addendi della somma di tutti i prodotti scalari avranno sempre lo stesso segno algebrico, quindi la circuitazione non sarà nulla.

CΓ(v) ≠ 0

Circuitazione di un campo vettoriale

Il calcolo della circuitazione di un campo vettoriale ci permette di determinare se siamo in presenza di un flusso laminare o turbolento.

4-4

1-1

Lavoro e circuitazione di un campo elettrostatico Abbiamo visto che il lavoro di E vale:

   WΓ ( E ) = ∑ qE i ⋅ ΔSi = ∑ qE i ΔSi cosα i

ΔSj

Γ ΔSi

E

Applicando ad E la definizione di circuitazione troveremmo:

   C Γ ( E ) = ∑ E i ⋅ ΔSi = ∑ E i ΔSi cosα i

W e C si corrispondono a meno della carica di prova q: a meno di una costante. Quindi tutte le considerazione svolte su W valgono anche per la circuitazione. Ma se W ci dice qualcosa sulle proprietà energetiche di E in relazione ad una carica esploratrice q, C ci dice qualcosa relativo ad E stesso, in particolare che il campo elettrostatico è irrotazionale e conservativo. CΓ( E )=0 per ogni percorso chiuso Γ implica la possibilità di definire una funzione scalare, detta potenziale, di cui abbiamo già parlato e che dà del campo una rappresentazione energetica.

CΓ( E )=0 per ogni Γ chiusa costituisce la terza equazione di Maxwell per il campo elettrostatico.

Equazioni di Maxwell per il campo elettrostatico 1)

 Σq ΦΩ (E) = ε

Il flusso del campo elettrico, attraverso una superficie chiusa Ω, è pari alla somma algebrica delle cariche in essa contenute fratto la costante dielettrica del mezzo in cui si trovano le cariche.

Equivale alla conservazione della carica elettrica. Significa che esiste la singola carica elettrica (positiva o negativa). Significa che le linee di forza del campo elettrico possono anche essere delle semirette (con origine e senza fine).

3)

Lungo un qualunque percorso chiuso Γ la circuitazione del campo elettrostatico è nulla.

È il modo matematico per esprimere la proprietà del campo elettrostatico di essere conservativo, ovvero: che il lavoro compiuto dal campo elettrostatico non dipende dal percorso, ma dal punto iniziale e finale del percorso (o, in modo analogo, che lungo un qualunque percorso chiuso il lavoro è nullo); e irrotazionale. Significa che per conoscere il campo elettrico dal punto di vista energetico può essere definita una funzione dipendente soltanto dalla posizione (il potenziale) e il lavoro compiuto su una carica può essere conosciuto tramite una funzione della sola posizione detta energia potenziale.

1-1

Conduttori carichi isolati (in assenza di campo esterno)

Il processo di elettrizzazione di un conduttore consiste in un movimento di cariche elettriche. Non appena il processo di carica termina, il conduttore raggiunge uno stato di equilibrio in cui le cariche elettriche sono ferme rispetto ad esso, il conduttore si dice in

equilibrio elettrostatico tutte le cariche che costituiscono il sistema sono ferme

Vediamo cosa si verifica in un conduttore in equilibrio elettrostatico.

1-1

Conduttori carichi isolati (in assenza di campo esterno) 1. Il campo elettrico all’interno del conduttore è nullo. Altrimenti le cariche libere del conduttore sarebbero soggette ad una forza elettrica qE che le terrebbe in movimento. Ciò vale anche se il conduttore è cavo, fino a immaginare di scavare internamente il conduttore tanto da ridurlo ad un sottilissimo involucro corrispondente alla sua superficie esterna. L’elettrostatica non distingue un conduttore massiccio da un altro di stessa forma e dimensioni, ma internamente cavo. L’interno di questi conduttori è isolato elettricamente dall’esterno per qualunque campo elettrico esistente nello spazio esterno. Un involucro metallico chiuso è uno schermo elettrostatico, come la gabbia di Faraday.

2. Le cariche sono tutte sulla superficie. Basta applicare la I equazione di Maxwell ad una qualunque superficie chiusa, S1 , interna al conduttore e a una qualunque superficie chiusa, S2 , in cui il conduttore è contenuto e considerare il punto 1: E=0 all’interno del conduttore. Più semplicemente, per la mobilità delle cariche libere (tutte dello stesso segno), le interazioni coulombiane repulsive che si esercitano tra di esse portano queste cariche a distribuirsi sulla superficie del corpo conduttore.

3. Il campo elettrico è perpendicolare alla superficie del conduttore. Se E avesse una componente parallela alla superficie del conduttore le cariche sarebbero soggette a questa componente parallela che le terrebbe in movimento.

4. Il potenziale ha lo stesso valore all’interno e sulla superficie del conduttore. Siccome E = 0 all’interno del conduttore, allora è zero anche il lavoro compiuto su una carica q spostata fra due punti qualunque A e B del conduttore: WAB = q ( VA – VB ) = 0, ovvero VA = VB. Le superfici dei conduttori in equilibrio elettrico sono equipotenziali.

1-7

Campo elettrico sulla superficie di un conduttore in equilibrio elettrostatico. Teorema di Coulomb Abbiamo già visto che la sua direzione è perpendicolare alla superficie del conduttore, il verso entrante se la carica è negativa, uscente se positiva. Per il suo modulo si ricorre al Teorema di Coulomb: in condizioni di equilibrio elettrostatico, il campo elettrico in ogni punto della superficie del conduttore è pari a:

σ E= ε

ΔQ dove σ = è la densità di carica superficiale. ΔS ΔQ ΔS

1-1

1-1

E e V per un involucro sferico carico e di materiale conduttore R

V(r)

1 Q tot Vint = 4!ε R

N. B.: il raggio della sfera è fissato ed è pari a R anche la carica presente sulla sfera è fissata ed è pari a Q. Il parametro variabile è r ed indica la distanza dalla sfera.

1 Q tot Vest = 4!ε r r

E(r)

Eint = 0

1 Q tot E est = 4!ε r 2

σ ER = ε

r

Come afferma il teorema di Coulomb.

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Cosa accade a due conduttori precedentemente elettrizzati ed in seguito posti a contatto?

Come nei vasi comunicanti un liquido raggiunge lo stesso livello: equilibrio idrostatico (stesso potenziale gravitazionale).

Allo stesso modo due sfere conduttrici raggiungono l’equilibrio elettrostatico (stesso potenziale elettrostatico VA = VB) se messe a contatto mediante un conduttore.

A

VA = VB B

È questa tendenza a raggiungere l’equilibrio, non appena si hanno le condizioni, che fa chiamare la ddp anche tensione.

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Consideriamo il caso di due sfere metalliche A e B di raggi R1 e R2 poste ad una distanza tale da poter escludere la reciproca influenza di campo elettrico. Portiamo le sfere ad uno stesso potenziale V attraverso il contatto con due puntali conduttori.

V

V

R1 R2

Ci chiediamo: Quando le due sfere sono portate allo stesso potenziale: 1. quale delle due ospiterà una quantità di carica maggiore? 2. quale delle due sarà sede del campo elettrico più intenso? 3. quali saranno le densità superficiali di carica? Per rispondere occorre ricordare: 1. che per una sfera di raggio R e con carica totale Q, il potenziale elettrostatico, nel vuoto, vale: 1 Q V= 4!ε 0 R 2. che l’area della superficie di una sfera di raggio R è: 4πR2. 3. che la densità superficiale di carica, σ, di un conduttore con carica Q e superficie S è definita:

.

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Per la carica 1 Q1 Per la sfera A, dopo il contatto: V = 4!ε 0 R 1 1 Q2 Per la sfera B , dopo il contatto: V = 4!ε 0 R 2

R1

R2

Quindi:

All’equilibrio elettrostatico il rapporto delle cariche presenti sulle due sfere è uguale al rapporto dei raggi.

Sfera maggiore carica maggiore

Per il campo 1 Q1 Sapendo che E1 = 4!ε 0 R 12

e

1 Q2 E2 = 4!ε 0 R 22

si ha:

All’equilibrio elettrostatico il rapporto dei campi elettrici sulle superfici delle due sfere è uguale all’inverso del rapporto dei raggi.

Sfera maggiore campo minore

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Per la densità di carica si arriva a dimostrare:

La densità di carica superficiale è direttamente proporzionale al potenziale elettrico sulla superficie ed inversamente proporzionale al raggio del conduttore. Nel caso di una sfera, essendo R costante, significa che le cariche sono uniformemente distribuite.

All’equilibrio elettrostatico le densità di carica delle due sfere sono inversamente proporzionali ai raggi delle sfere.

Sfera più piccola Densità di carica maggiore

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Supponiamo di avere un conduttore come in figura: R1 R2

è facile immaginare in esso due sfere con raggi diversi. Quindi, per quanto detto, sull’estremo più curvo dobbiamo aspettarci una densità di carica maggiore e un campo elettrico più intenso.

Alcuni effetti di queste distribuzioni di cariche li abbiamo mostrati nelle esperienze col conduttore appuntito. Infatti, una punta esalta quanto descritto in quanto può essere considerata una sfera con un raggio piccolissimo. Generalizziamo dicendo che un qualunque conduttore avrà una σ maggiore ed un E più intenso in quelle parti in cui la sua superficie presenta una curvatura più accentuata rispetto a quelle meno incurvate e che le zone della superficie incavate sono quelle con minor σ ed E.

Capacità elettrica La capacità, C, è una grandezza fisica scalare che indica la possibilità di un conduttore di immagazzinare carica elettrica. È così definita:

Al variare della quantità di carica posta sul conduttore varia pure il potenziale, però il rapporto tra le due grandezze resta sempre costante ed è pari a C. Nel Sistema Internazionale la capacità elettrica si misura in farad, F.

Un conduttore ha la capacità di un farad se assume un potenziale di un volt quando è caricato con una carica di un coulomb.

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Capacità di una sfera conduttrice (cariche distribuite - e uniformemente - solo sulla superficie)

R

1 Q Vint = 4!ε R

V(r)

1 Q Vest = 4!ε r

Q Q C= = = 4!ε R 1 Q Vsfera 4!ε R

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Capacità elettrica Si osservi che quanto trovato per la capacità di una sfera (C = 4πεR) indica che essa sia una grandezza legata solo alle caratteristiche geo-metriche del corpo conduttore, visto che compare solo R. Inoltre, possiamo renderci conto di quanto sia enorme 1F dal fatto che la capacità della Terra (R = 6,37·106m) vale: ~10-3F e che una sfera per avere una C = 1F dovrebbe avere un raggio di nove milioni di km! Perciò si usano i sottomultipli: Microfarad: μF = 10-6F Nanofarad: nF = 10-9F Picofarad: pF = 10-12F.

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Condensatore A

A è una sfera conduttrice carica isolata. Il suo potenziale è quindi fissato.

Avvicinando ad A un conduttore neutro B, B subirà il fenomeno dell’induzione ed essendo la parte più vicina di B ad A di segno opposto alla carica di A, il potenziale di A ne sarà influenzato subendo una diminuzione.

A

B

B

Se volessimo riportare il potenziale di A al valore precedente occorrerebbe fornirgli altra carica: la presenza di B ha accresciuto la capacità elettrica di A. Collegando B a terra, non ci sarà nemmeno la carica positiva sull’estremo di B a limitare gli effetti su A, quindi il potenziale di A cala ancora mentre la sua capacità immagazzinare carica aumenta:

A

B

Quanto detto vale per conduttori di qualunque forma. Ciò che si deduce è che un sistema formato da due conduttori ha una capacità maggiore di ognuno dei due conduttori preso separatamente.

Il più semplice sistema per accumulare cariche è costituito da due conduttori ed è detto condensatore, i due conduttori che lo costituiscono sono chiamati armature del condensatore.

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Capacità di un condensatore piano La capacità di un condensatore è indipendente dalla carica sulle armature: carico o scarico, la sua capacità è fissata. La sua capacità dipende dalla geometria del sistema e se fra le armature viene interposto un dielettrico. Consideriamo un condensatore piano, con questa disposizione, ciò che conta ai fini della capacità è la distanza, d, fra le armature, l’area delle superfici, S, e la presenza di un dielettrico, εr , interposto fra esse. Si dimostra che la sua capacità è:

Q S C = = ε 0ε r V d

d

Per aumentare la capacità di un condensatore piano si può far crescere l’area delle superfici e/o portarle più vicine e/o interporre un dielettrico.

Lavoro di carica di un condensatore Caricare un condensatore, significa aggiungere su una armatura cariche tutte delle stesso segno: bisogna quindi vincere la repulsione coulombiana fra esse, ovvero spendere un lavoro. Si può dimostrare che il lavoro per caricare un condensatore vale, con ovvio significato dei simboli:

La quale, ricorrendo alla definizione di capacità,

, può anche scriversi:

Ma dove va a finire questo lavoro? Questa energia spesa?

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Densità di energia del campo elettrico

Prima della carica

Dopo la carica

Il lavoro è immagazzinato sotto forma di energia elettrica, basterebbe collegare le armature con un filo conduttore ed un flusso di cariche annullerebbe sia la ddp fra le armature che il campo elettrico, con la restituzione dell’energia spesa per il processo di carica. Possiamo immaginare che l’energia spesa sia stata utilizzata per generare il campo elettrico, che esso l’abbia accumulata. Questa energia è impacchettata nel volume fra le armature in cui esiste il campo elettrico, per questo viene introdotta la densità di energia del campo elettrico, ovvero il lavoro di carica fratto il volume compreso fra le armature del condensatore:

1 WE = ε E 2 2

Questo risultato è stato ottenuto per un condensatore piano, ma è valido in generale: in ogni spazio in cui è presente un campo elettrico è presente un’energia la cui densità è data dalla precedente formula.

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